mara tano kwenye jicho

Mwishoni mwa 2020, matukio kadhaa yalifanyika katika vyuo vikuu na shule, yaliahirishwa kutoka ... Machi. Mojawapo ilikuwa "sherehe" ya siku ya pi. Katika tukio hili, tarehe 8 Desemba, nilitoa mhadhara wa mbali katika Chuo Kikuu cha Silesia, na makala hii ni muhtasari wa mhadhara huo. Sherehe nzima ilianza saa 9.42, na hotuba yangu imepangwa 10.28. Usahihi kama huo unatoka wapi? Ni rahisi: mara 3 pi ni karibu 9,42, na π hadi nguvu ya 2 ni kama 9,88, na saa 9 hadi 88 ni 10 hadi 28 ...

Tamaduni ya kuheshimu nambari hii, kuonyesha uwiano wa mduara wa duara kwa kipenyo chake na wakati mwingine huitwa Archimedes mara kwa mara (na vile vile katika tamaduni zinazozungumza Kijerumani), anatoka Marekani (Angalia pia: ) 3.14 Machi "mtindo wa Amerika" saa 22:22, kwa hiyo wazo. Sawa na Kipolandi inaweza kuwa Julai 7 kwa sababu sehemu 14/XNUMX inakadiria π vizuri, ambayo…Archimedes tayari alijua. Kweli, Machi XNUMX ndio wakati mzuri wa hafla za kando.

Hizi mia tatu na kumi na nne ni mojawapo ya jumbe chache za hisabati ambazo zimesalia nasi kutoka shuleni maishani. Kila mtu anajua maana yake"mara tano kwenye jicho". Imejikita katika lugha hivi kwamba ni vigumu kuieleza kwa njia tofauti na kwa neema ile ile. Nilipouliza kwenye duka la kutengeneza magari ni kiasi gani kingegharimu ukarabati huo, fundi alifikiri juu yake na kusema: “mara tano kama zloti mia nane.” Niliamua kuchukua fursa ya hali hiyo. "Unamaanisha makadirio mabaya?". Fundi huyo lazima alifikiri kwamba sikusikia vibaya, kwa hiyo akarudia, “Sijui ni kiasi gani hasa, lakini mara tano jicho lingekuwa 800.”

.

Inahusu nini? Tahajia za Kabla ya Vita vya Kidunia vya pili zilitumia "hapana" pamoja, na nikaiacha hapo. Hatushughulikii hapa na ushairi wa utukufu usio wa lazima, ingawa napenda wazo kwamba "meli ya dhahabu inasukuma furaha." Waulize wanafunzi: Wazo hili linamaanisha nini? Lakini thamani ya maandishi haya iko mahali pengine. Idadi ya herufi katika maneno yafuatayo ni tarakimu za kiendelezi cha pi. Hebu tuone:

Π ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982

Mnamo 1596, mwanasayansi wa Uholanzi wa asili ya Ujerumani Ludolph van Selen ilikokotoa thamani ya pi hadi nafasi 35 za desimali. Kisha takwimu hizi zilichongwa kwenye kaburi lake. Alijitolea shairi kwa nambari pi na kwa mshindi wetu wa Tuzo ya Nobel, Vislava Shimborska. Szymborska alivutiwa na kutokuwepo kwa muda kwa nambari hii na ukweli kwamba kwa uwezekano 1 kila mlolongo wa nambari, kama nambari yetu ya simu, itatokea hapo. Ingawa mali ya kwanza ni ya asili katika kila nambari isiyo na maana (ambayo tunapaswa kukumbuka kutoka shuleni), pili ni ukweli wa kuvutia wa hisabati ambao ni vigumu kuthibitisha. Unaweza hata kupata programu zinazotoa: nipe nambari yako ya simu na nitakuambia ilipo katika pi.

Ambapo kuna mviringo, kuna usingizi. Ikiwa tuna ziwa la pande zote, basi kutembea kuzunguka ni mara 1,57 zaidi kuliko kuogelea. Bila shaka, hii haina maana kwamba tutaogelea moja na nusu hadi mara mbili polepole kuliko tutakavyopita. Nilishiriki rekodi ya dunia ya mita 100 na rekodi ya dunia ya mita 100. Inashangaza, kwa wanaume na wanawake, matokeo ni karibu sawa na ni 4,9. Tunaogelea polepole mara 5 kuliko tunavyokimbia. Kupiga makasia ni tofauti kabisa - lakini ni changamoto ya kuvutia. Ina hadithi ndefu sana.

Akimkimbia Mwovu aliyekuwa akimfuata, Yule Mwema mzuri na mtukufu alisafiri kwa meli hadi ziwani. Mwanahalifu anakimbia kando ya ufuo na kumngoja amfanye kutua. Bila shaka, anakimbia kwa kasi zaidi kuliko safu za Dobry, na ikiwa anaendesha vizuri, Dobry ana kasi zaidi. Kwa hiyo nafasi pekee ya Uovu ni kupata Mema kutoka pwani - risasi sahihi kutoka kwa bastola sio chaguo, kwa sababu. Wema una habari muhimu ambayo Uovu unataka kujua.

Nzuri hufuata mkakati ufuatao. Anaogelea kuvuka ziwa, hatua kwa hatua akikaribia ufuo, lakini kila mara akijaribu kuwa upande wa pili kutoka kwa yule Mwovu, ambaye anakimbia kwa nasibu kwenda kushoto, kisha kwenda kulia. Hii inaonyeshwa kwenye takwimu. Acha Uovu uanze nafasi iwe Z₁, na Dobre iko katikati ya ziwa. Wakati Zly inahamia Z₁, Dobro atasafiri kwa meli hadi D.₁wakati Bad iko katika Z₂, nzuri kwa D₂. Itapita kwa njia ya zigzag, lakini kwa kufuata sheria: iwezekanavyo kutoka kwa Z. Hata hivyo, inapoondoka katikati ya ziwa, Nzuri lazima iende kwenye miduara kubwa na kubwa, na kwa wakati fulani haiwezi. shikamana na kanuni ya “kuwa upande mwingine wa Uovu.” Kisha akapiga makasia kwa nguvu zake zote hadi ufuoni, akitumaini kwamba yule Mwovu hatapita ziwa. Je, Wema atafanikiwa?

Jibu linategemea jinsi Nzuri inavyoweza kupanga safu kwa kasi kuhusiana na thamani ya miguu ya Mbaya. Tuseme kwamba Mtu Mbaya anakimbia kwa kasi ya mara ya Mtu Mwema kwenye ziwa. Kwa hivyo, duara kubwa zaidi, ambalo Wema anaweza kupiga makasia ili kupinga Uovu, ina eneo ndogo mara moja kuliko eneo la ziwa. Kwa hiyo, katika kuchora tunayo. Katika hatua W, Aina yetu huanza kupiga makasia kuelekea ufukweni. Hii lazima kwenda 

 kwa kasi

Anahitaji muda.

Mwovu anafukuza miguu yake yote bora. Lazima amalize nusu ya duara, ambayo itamchukua sekunde au dakika, kulingana na vitengo vilivyochaguliwa. Ikiwa hii ni zaidi ya mwisho mzuri:

Mzuri ataenda. Akaunti rahisi zinaonyesha inavyopaswa kuwa. Ikiwa Mtu Mbaya anakimbia kwa kasi zaidi ya mara 4,14 ya Mtu Mwema, haimalizi vizuri. Na hapa, pia, nambari yetu ya pi inaingilia kati.

Ni nini pande zote ni nzuri. Wacha tuangalie picha ya sahani tatu za mapambo - ninazo baada ya wazazi wangu. Ni eneo gani la pembetatu ya curvilinear kati yao? Hii ni kazi rahisi; jibu liko kwenye picha hiyo hiyo. Hatushangazi kwamba inaonekana katika formula - baada ya yote, ambapo kuna mviringo, kuna pi.

Nilitumia neno ambalo labda sijazoea:. Hili ndilo jina la nambari pi katika tamaduni inayozungumza Kijerumani, na shukrani hii yote kwa Uholanzi (kwa kweli Mjerumani aliyeishi Uholanzi - utaifa haujalishi wakati huo), Ludolf wa Seoulen... Mnamo 1596 g. alihesabu tarakimu 35 za upanuzi wake hadi desimali. Rekodi hii ilifanyika hadi 1853, wakati William Rutherford ilihesabu viti 440. Mwenye rekodi kwa hesabu za mikono ni (labda milele) William Shanksambaye, baada ya miaka mingi ya kazi, ilichapishwa (mnamo 1873) ugani hadi tarakimu 702. Mnamo 1946 tu, nambari 180 za mwisho zilionekana kuwa sio sahihi, lakini ilibaki hivyo. 527 sawa. Ilikuwa ya kuvutia kupata mdudu yenyewe. Mara tu baada ya kuchapishwa kwa matokeo ya Shanks, walishuku kuwa "kuna kitu hakikuwa sawa" - kulikuwa na saba chache zinazoshukiwa katika maendeleo. Nadharia ambayo bado haijathibitishwa (Desemba 2020) inasema kwamba nambari zote zinapaswa kuonekana na frequency sawa. Hili lilimsukuma D.T. Ferguson kusahihisha hesabu za Shanks na kupata hitilafu ya "mwanafunzi"!

Baadaye, vikokotoo na kompyuta vilisaidia watu. Mmiliki wa rekodi wa sasa (Desemba 2020) ni Timothy Mullican (nafasi trilioni 50 za desimali). Hesabu zilichukua ... siku 303. Wacha tucheze: nambari hii ingechukua nafasi ngapi, iliyochapishwa katika kitabu cha kawaida. Hadi hivi majuzi, "upande" uliochapishwa wa maandishi ulikuwa herufi 1800 (mistari 30 kwa mistari 60). Wacha tupunguze idadi ya herufi na pambizo za ukurasa, tuongeze herufi 5000 kwa kila ukurasa, na tuchapishe vitabu vya kurasa 50. Kwa hivyo herufi trilioni XNUMX zingechukua vitabu milioni kumi. Sio mbaya, sawa?

Swali ni je, nini maana ya mapambano hayo? Kwa mtazamo wa kiuchumi tu, kwa nini mlipakodi alipe "burudani" kama hiyo ya wanahisabati? Jibu si gumu. Kwanza, kutoka Seoulen zuliwa nafasi zilizo wazi kwa mahesabu, basi ni muhimu kwa hesabu za logarithmic. Ikiwa angeambiwa: tafadhali, jenga nafasi zilizo wazi, angejibu: kwa nini? Vile vile amri:. Kama unavyojua, ugunduzi huu haukuwa wa bahati mbaya kabisa, lakini hata hivyo ni matokeo ya utafiti wa aina tofauti.

Pili, tusome anachoandika Timothy Mullican. Hapa kuna nakala ya mwanzo wa kazi yake. Profesa Mullican yuko katika usalama wa mtandao, na pi ni shughuli ndogo sana ambayo amejaribu tu mfumo wake mpya wa usalama wa mtandao.

Na kwamba 3,14159 katika uhandisi ni zaidi ya kutosha, hilo ni suala jingine. Hebu tufanye hesabu rahisi. Jupiter iko umbali wa Tm 4,774 kutoka kwa Jua (teramita = mita 1012). Ili kuhesabu mzunguko wa mduara kama huo na radius kwa usahihi usio na maana wa milimita 1, itakuwa ya kutosha kuchukua π = 3,1415926535897932.

Picha ifuatayo inaonyesha robo ya duara ya matofali ya Lego. Nilitumia pedi 1774 na ilikuwa karibu 3,08 pi. Sio bora, lakini nini cha kutarajia? Mduara hauwezi kufanywa na miraba.

Hasa. Nambari ya pi inajulikana kuwa mduara mraba - shida ya hisabati ambayo imekuwa ikingojea suluhisho lake kwa zaidi ya miaka 2000 - tangu nyakati za Uigiriki. Je, unaweza kutumia dira na kunyoosha kutengeneza mraba ambao eneo lake ni sawa na eneo la duara uliyopewa?

Neno "mraba wa duara" limeingia katika lugha ya mazungumzo kama ishara ya kitu kisichowezekana. Ninabonyeza ufunguo kuuliza, je, hii ni aina fulani ya jaribio la kujaza mtaro wa uadui unaotenganisha raia wa nchi yetu nzuri? Lakini tayari ninaepuka mada hii, kwa sababu labda ninahisi tu katika hisabati.

Na tena jambo lile lile - suluhisho la shida ya kugonga duara halikuonekana kwa njia ambayo mwandishi wa suluhisho, Charles Lindemann, mwaka 1882 alianzishwa na hatimaye akafanikiwa. Kwa kiasi fulani ndiyo, lakini ilikuwa ni matokeo ya mashambulizi kutoka mbele pana. Wanahisabati wamejifunza kwamba kuna aina tofauti za nambari. Sio tu nambari kamili, za busara (yaani, sehemu) na zisizo na mantiki. Kutoweza kupimika pia kunaweza kuwa bora au mbaya zaidi. Tunaweza kukumbuka kutoka shuleni kwamba nambari isiyo na mantiki ni √2, nambari inayoonyesha uwiano wa urefu wa ulalo wa mraba kwa urefu wa upande wake. Kama nambari yoyote isiyo na mantiki, ina kiendelezi kisichojulikana. Napenda kukukumbusha kwamba upanuzi wa mara kwa mara ni mali ya nambari za busara, i.e. nambari za kibinafsi:

Hapa mlolongo wa nambari 142857 unarudia kwa muda usiojulikana. Kwa √2 hii haitatokea - hii ni sehemu ya kutokuwa na maana. Lakini unaweza:

(sehemu inaendelea milele). Tunaona muundo hapa, lakini wa aina tofauti. Pi sio kawaida hata kidogo. Haiwezi kupatikana kwa kutatua equation ya algebraic - yaani, moja ambayo hakuna mizizi ya mraba, wala logarithm, wala kazi za trigonometric. Hii tayari inaonyesha kuwa haiwezi kujengwa - miduara ya kuchora inaongoza kwa kazi za quadratic, na mistari - mistari ya moja kwa moja - kwa equations ya shahada ya kwanza.

Labda nilijitenga na njama kuu. Ukuzaji wa hesabu zote tu ndio uliowezesha kurudi kwenye asili - kwa hisabati nzuri ya zamani ya wanafikra ambao walitutengenezea utamaduni wa mawazo wa Uropa, ambao leo una shaka sana na wengine.

Kati ya mifumo mingi ya uwakilishi, nilichagua mbili. Wa kwanza wao tunashirikiana na jina la ukoo Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Lakini alijulikana (mfano, si Leibniz) kwa msomi wa zama za kati wa Kihindu Madhava wa Sangamagram (1350-1425). Uhamisho wa habari wakati huo haukuwa mzuri - viunganisho vya Mtandao mara nyingi vilikuwa na buggy, na hakukuwa na betri za simu za rununu (kwa sababu vifaa vya elektroniki vilikuwa bado zuliwa!). Fomu ni nzuri, lakini haina maana kwa mahesabu. Kutoka kwa viungo mia, "tu" 3,15159 hupatikana.

yeye ni bora kidogo Fomula ya Viète (ile kutoka milinganyo ya quadratic) na fomula yake ni rahisi kupanga kwa sababu neno linalofuata katika bidhaa ni mzizi wa mraba wa uliopita jumlisha mbili.

Tunajua kuwa duara ni pande zote. Tunaweza kusema kwamba hii ni mzunguko wa asilimia 100. Mtaalamu wa hisabati atauliza: kitu kinaweza kuwa si asilimia 1 pande zote? Inavyoonekana, hii ni oxymoron, kifungu kilicho na utata uliofichwa, kama vile, kwa mfano, barafu ya moto. Lakini hebu jaribu kupima jinsi maumbo yanaweza kuwa pande zote. Inatokea kwamba kipimo kizuri kinatolewa na formula ifuatayo, ambayo S ni eneo na L ni mduara wa takwimu. Wacha tujue kuwa duara ni pande zote, kwamba sigma ni 6. Eneo la duara ni mduara. Tunaingiza ... na kuona kile ambacho ni sawa. Je, mraba ni wa pande ngapi? Mahesabu ni rahisi tu, hata sitawapa. Chukua hexagon ya kawaida iliyoandikwa kwenye mduara na radius. Mzunguko ni dhahiri XNUMX.

Pole

Vipi kuhusu hexagon ya kawaida? Mzunguko wake ni 6 na eneo lake

Hivyo tuna

ambayo ni takriban sawa na 0,952. Hexagon ni zaidi ya 95% "pande zote".

Matokeo ya kuvutia hupatikana wakati wa kuhesabu mzunguko wa uwanja wa michezo. Kulingana na sheria za IAAF, mielekeo na mikondo lazima iwe na urefu wa mita 40, ingawa mikengeuko inaruhusiwa. Nakumbuka kuwa Uwanja wa Bislet huko Oslo ulikuwa mwembamba na mrefu. Ninaandika "ilikuwa" kwa sababu hata niliikimbia (kwa amateur!), Lakini zaidi ya miaka XNUMX iliyopita. Hebu tuangalie:

Ikiwa arc ina radius ya mita 100, radius ya arc hiyo ni mita. Eneo la lawn ni mita za mraba, na eneo la nje yake (ambapo kuna mbao) ni jumla ya mita za mraba. Wacha tuunganishe hii kwenye fomula:

Kwa hivyo je, mzunguko wa uwanja wa michezo una uhusiano wowote na pembetatu iliyo sawa? Kwa sababu urefu wa pembetatu ya usawa ni idadi sawa ya mara upande. Ni bahati mbaya ya nambari, lakini ni nzuri. Naipenda. Na wasomaji?

Kweli, ni vizuri kuwa ni mviringo, ingawa wengine wanaweza kupinga kwa sababu virusi vinavyoathiri sisi sote ni pande zote. Angalau ndivyo wanavyochora.