HIVYO KWA NANI, yaani: JARIBU UNAPOWEZA - sehemu ya 2

Katika kipindi kilichopita, tulishughulikia Sudoku, mchezo wa hesabu ambao nambari kimsingi hupangwa katika michoro mbalimbali kulingana na sheria fulani. Tofauti ya kawaida ni 9 × 9 chessboard, kwa kuongeza imegawanywa katika seli tisa 3 × 3. Nambari kutoka 1 hadi 9 lazima ziwekwe juu yake ili zisirudie ama kwa safu wima (wanahisabati wanasema: kwenye safu) au kwa safu ya usawa (wanahisabati wanasema: safu) - na, zaidi ya hayo, ili hawarudii. kurudia ndani ya mraba wowote mdogo.

Na mtini. 1 tunaona fumbo hili katika toleo rahisi zaidi, ambalo ni mraba 6 × 6 umegawanywa katika mistatili 2 × 3. Tunaingiza nambari 1, 2, 3, 4, 5, 6 ndani yake - ili zisirudie wima, wala kwa usawa, wala katika kila heksagoni iliyochaguliwa.

Hebu tujaribu iliyoonyeshwa kwenye mraba wa juu. Je, unaweza kuijaza na nambari kutoka 1 hadi 6 kulingana na sheria zilizowekwa za mchezo huu? Inawezekana - lakini utata. Wacha tuone - chora mraba upande wa kushoto au mraba upande wa kulia.

Tunaweza kusema kwamba hii sio msingi wa fumbo. Kwa kawaida tunachukulia kuwa fumbo lina suluhu moja. Kazi ya kutafuta besi tofauti za Sudoku "kubwa", 9x9, ni kazi ngumu na hakuna nafasi ya kutatua kabisa.

Uunganisho mwingine muhimu ni mfumo unaopingana. Mraba wa kati wa chini (ule ulio na nambari 2 kwenye kona ya chini kulia) hauwezi kukamilika. Kwa nini?

Burudani na Mapumziko

Tunacheza. Wacha tutumie intuition ya watoto. Wanaamini kuwa burudani ni utangulizi wa kujifunza. Twende angani. imewashwa mtini. 2 kila mtu anaona gridi ya taifa tetrahedronkutoka kwa mipira, kwa mfano, mipira ya ping-pong? Kumbuka masomo ya jiometri ya shule. Rangi zilizo upande wa kushoto wa picha zinaelezea kile kinachounganishwa wakati wa kuunganisha kizuizi. Hasa, mipira mitatu ya kona (nyekundu) itaunganishwa kwenye moja. Kwa hiyo, lazima iwe idadi sawa. Labda 9. Kwa nini? Na kwa nini sivyo?

Oh sikusema majukumu. Inasikika kama hii: inawezekana kuandika nambari kutoka 0 hadi 9 kwenye gridi inayoonekana ili kila uso uwe na nambari zote? Kazi sio ngumu, lakini ni kiasi gani unahitaji kufikiria! Sitaharibu raha ya wasomaji na sitatoa suluhisho.

Hii ni sura nzuri sana na isiyokadiriwa. octahedron ya kawaida, iliyojengwa kutoka kwa piramidi mbili (=piramidi) yenye msingi wa mraba. Kama jina linavyopendekeza, octahedron ina nyuso nane.

Kuna wima sita katika octahedron. Inapingana mchemrabaambayo ina nyuso sita na wima nane. Kingo za uvimbe wote ni sawa - kumi na mbili kila moja. Hii yabisi mara mbili - hii ina maana kwamba kwa kuunganisha vituo vya nyuso za mchemraba tunapata octahedron, na vituo vya nyuso za octahedron vitatupa mchemraba. Matuta haya yote mawili hufanya ("kwa sababu lazima"). Fomula ya Euler: Jumla ya idadi ya vipeo na idadi ya nyuso ni 2 zaidi ya idadi ya kingo.

3. Octahedron ya kawaida katika makadirio sambamba na kimiani ya octahedron inayojumuisha tufe kwa njia ambayo kila makali ina tufe nne.

Kazi 1. Kwanza, andika sentensi ya mwisho ya aya iliyotangulia ukitumia fomula ya hisabati. Juu ya mtini. 3 unaona gridi ya octahedral, pia inayoundwa na tufe. Kila makali ina mipira minne. Kila uso ni pembetatu ya tufe kumi. Tatizo limewekwa kwa kujitegemea: inawezekana kuweka nambari kutoka 0 hadi 9 kwenye miduara ya gridi ya taifa ili baada ya kuunganisha mwili imara, kila ukuta una namba zote (inafuata kwamba bila kurudia). Kama hapo awali, ugumu mkubwa katika kazi hii ni jinsi mesh inabadilishwa kuwa mwili thabiti. Siwezi kuielezea kwa maandishi, kwa hivyo sitoi suluhisho hapa pia.

4. Icosahedron mbili kutoka kwa mipira ya ping-pong. Angalia mpango tofauti wa rangi.

tayari Plato (na aliishi katika karne ya XNUMX-XNUMX KK) alijua polihedra zote za kawaida: tetrahedron, mchemraba, octahedron, demaэдр i icosahedron. Inashangaza jinsi alivyofika huko - hakuna penseli, hakuna karatasi, hakuna kalamu, hakuna vitabu, hakuna smartphone, hakuna mtandao! Sitazungumza juu ya dodecahedron hapa. Lakini sudoku ya icosahedral inavutia. Tunaona donge hili kielelezo 4na mtandao wake mtini 5.

5. Mesh ya mara kwa mara ya icosahedron.

Kama hapo awali, hii sio gridi ya taifa kwa maana ambayo tunakumbuka (?!) kutoka shuleni, lakini njia ya kuunganisha pembetatu kutoka kwa mipira (mipira).

Kazi 2. Inachukua mipira ngapi kuunda icosahedron kama hiyo? Je, hoja ifuatayo bado ni ya kweli: kwa kuwa kila uso ni pembetatu, ikiwa kutakuwa na nyuso 20, basi kiasi cha tufe 60 zinahitajika?

6. Gridi ya icosahedron kutoka kwa nyanja. Kila mduara ni, kwa mfano, mpira wa ping-pong, lakini uundaji wa miduara kwenye miduara iliyo na alama sawa huunganishwa kuwa moja. Kwa hivyo tuna tufe kumi na mbili (= wima kumi na mbili: nyekundu, bluu, zambarau, bluu na njano nane).

Ni rahisi kuona kwamba nambari tatu katika icosahedron haitoshi. Kwa usahihi: haiwezekani kuhesabu wima na nambari 1, 2, 3 ili kila uso (wa triangular) uwe na nambari hizi tatu na hakuna marudio. Inawezekana na nambari nne? Ndiyo inawezekana! Hebu tuangalie Mchele. 6 na 7.

7. Hapa kuna jinsi ya kuhesabu tufe zinazounda icosahedron ili kila uso uwe na nambari zingine isipokuwa 1, 2, 3, 4. Ni ipi kati ya miili kwenye tini. 4 ina rangi kama hii?

Kazi 3. Nambari tatu kati ya nne zinaweza kuchaguliwa kwa njia nne: 123, 124, 134, 234. Pata pembetatu kama hizo kwenye icosahedron kwenye tini. 7 (na vile vile kutoka vielelezo moja).

Zoezi 4 (inahitaji mawazo mazuri sana ya anga). Icosahedron ina wima kumi na mbili, ambayo inamaanisha kuwa inaweza kuunganishwa kutoka kwa mipira kumi na mbili (mtini. 7) Kumbuka kuwa kuna wima tatu (=mipira) iliyo na alama 1, tatu na 2, na kadhalika. Kwa hivyo, mipira ya rangi sawa huunda pembetatu. Pembetatu hii ni nini? Labda usawa? Angalia tena vielelezo moja.

Kazi inayofuata kwa babu / bibi na mjukuu / mjukuu. Wazazi wanaweza hatimaye kujaribu mkono wao pia, lakini wanahitaji uvumilivu na wakati.

Kazi 5. Nunua mipira kumi na mbili (ikiwezekana 24) ya ping-pong, baadhi ya rangi nne za rangi, brashi na gundi sahihi - sipendekezi zile za haraka kama Superglue au Droplet kwa sababu hukauka haraka sana na ni hatari kwa watoto. Gundi kwenye icosahedron. Valishe mjukuu wako shati la T-shirt ambalo litaoshwa (au kutupwa) mara baada ya hapo. Funika meza na foil (ikiwezekana na magazeti). Rangi kwa uangalifu icosahedron na rangi nne 1, 2, 3, 4, kama inavyoonyeshwa kwenye Mtini. mtini. 7. Unaweza kubadilisha mpangilio - kwanza weka rangi kwenye baluni na kisha gundi. Wakati huo huo, duru ndogo lazima ziachwe bila rangi ili rangi isishikamane na rangi.

Sasa kazi ngumu zaidi (kwa usahihi zaidi, mlolongo wao wote).

Zoezi 6 (Hasa zaidi, mada ya jumla). Panga icosahedron kama tetrahedron na octahedron juu Mchele. 2 na 3 Hii ina maana kwamba kunapaswa kuwa na mipira minne kwenye kila makali. Katika lahaja hii, kazi ni ya muda mwingi na hata ya gharama kubwa. Wacha tuanze kwa kujua ni mipira ngapi unahitaji. Kila uso una nyanja kumi, kwa hivyo icosahedron inahitaji mia mbili? Hapana! Lazima tukumbuke kwamba mipira mingi inashirikiwa. Icosahedron ina kingo ngapi? Inaweza kuhesabiwa kwa uchungu, lakini fomula ya Euler ni ya nini?

w–k+s=2

ambapo w, k, s ni idadi ya vipeo, kingo, na nyuso, mtawalia. Tunakumbuka kwamba w = 12, s = 20, ambayo ina maana k = 30. Tuna kando 30 za icosahedron. Unaweza kufanya hivyo kwa njia tofauti, kwa sababu ikiwa kuna pembetatu 20, basi zina kando 60 tu, lakini mbili kati yao ni za kawaida.

Wacha tuhesabu ni mipira ngapi unahitaji. Katika kila pembetatu kuna mpira mmoja tu wa ndani - wala juu ya mwili wetu, wala kwa makali. Kwa hivyo, tuna jumla ya mipira 20 kama hiyo. Kuna vilele 12. Kila makali ina mipira miwili isiyo ya vertex (iko ndani ya makali, lakini si ndani ya uso). Kwa kuwa kuna kingo 30, kuna marumaru 60, lakini mbili kati yao zinashirikiwa, ambayo inamaanisha unahitaji marumaru 30 tu, kwa hivyo unahitaji jumla ya marumaru 20 + 12 + 30 = 62. Mipira inaweza kununuliwa kwa angalau senti 50 (kawaida ni ghali zaidi). Ikiwa unaongeza gharama ya gundi, itatoka ... mengi. Uunganisho mzuri unahitaji masaa kadhaa ya kazi ya uchungu. Pamoja wanafaa kwa mchezo wa kupumzika - ninawapendekeza badala ya, kwa mfano, kuangalia TV.

Kurudi nyuma 1. Katika mfululizo wa filamu wa Andrzej Wajda Years, Days, wanaume wawili hucheza chess "kwa sababu inawabidi kwa namna fulani kupitisha muda hadi chakula cha jioni." Inafanyika katika Kigalisia Krakow. Hakika: magazeti tayari yamesomwa (basi yalikuwa na kurasa 4), TV na simu bado hazijavumbuliwa, hakuna mechi za mpira wa miguu. Uchovu katika madimbwi. Katika hali kama hiyo, watu walikuja na burudani kwao wenyewe. Leo tunazo baada ya kubonyeza kidhibiti cha mbali ...

Kurudi nyuma 2. Katika mkutano wa 2019 wa Chama cha Walimu wa Hisabati, profesa wa Uhispania alionyesha programu ya kompyuta ambayo inaweza kupaka kuta thabiti kwa rangi yoyote. Ilikuwa ya kutisha kidogo, kwa sababu walivuta mikono tu, karibu kukata mwili. Nilijifikiria: ni furaha ngapi unaweza kupata kutoka kwa "kivuli" kama hicho? Kila kitu kinachukua dakika mbili, na kwa nne hatukumbuki chochote. Wakati huo huo, "sindano" ya zamani hutuliza na kuelimisha. Ambaye haamini, basi ajaribu.

Wacha turudi kwenye karne ya XNUMX na ukweli wetu. Ikiwa hatutaki kupumzika kwa namna ya gluing ya muda ya mipira, basi tutachora angalau gridi ya icosahedron, kando ambayo ina mipira minne. Jinsi ya kufanya hivyo? Kata kulia mtini 6. Msomaji makini tayari anakisia tatizo:

Kazi 7. Inawezekana kuhesabu mipira na nambari kutoka 0 hadi 9 ili nambari hizi zote zionekane kwenye kila uso wa icosahedron kama hiyo?

Tunalipwa nini?

Leo sisi mara nyingi tunajiuliza swali la madhumuni ya shughuli zetu, na "mlipa kodi wa kijivu" atauliza kwa nini anapaswa kulipa wanahisabati kutatua puzzles vile?

Jibu ni rahisi sana. "Mafumbo" kama haya, ya kuvutia ndani yao wenyewe, ni "kipande cha kitu kikubwa zaidi." Baada ya yote, gwaride la kijeshi ni sehemu ya nje, ya kuvutia ya huduma ngumu. Nitatoa mfano mmoja tu, lakini nitaanza na somo la ajabu la hisabati lakini linalotambulika kimataifa. Mnamo 1852, mwanafunzi wa Kiingereza aliuliza profesa wake ikiwa inawezekana kupaka rangi kwenye ramani na rangi nne ili nchi jirani zionyeshwe kila wakati kwa rangi tofauti? Acha niongeze kwamba hatuzingatii "majirani" wale wanaokutana katika sehemu moja tu, kama vile majimbo ya Wyoming na Utah huko Merika. Profesa hakujua ... na shida ilikuwa ikingojea suluhisho kwa zaidi ya miaka mia moja.

8. Icosahedron kutoka vitalu vya RECO. Viakisi vya mmweko vinaonyesha kile ambacho icosahedron inafanana na pembetatu na pentagoni. Pembetatu tano huungana kwenye kila kipeo.

Ilifanyika kwa njia isiyotarajiwa. Mnamo 1976, kikundi cha wanahisabati wa Amerika kiliandika mpango wa kutatua shida hii (na waliamua: ndio, rangi nne zitatosha kila wakati). Huu ulikuwa uthibitisho wa kwanza wa ukweli wa hisabati uliopatikana kwa msaada wa "mashine ya hisabati" - kama kompyuta iliitwa nusu karne iliyopita (na hata mapema: "ubongo wa elektroniki").

Hapa kuna "ramani ya Ulaya" iliyoonyeshwa maalum (mtini. 9) Nchi hizo ambazo zina mpaka wa pamoja zimeunganishwa. Kuchorea ramani ni sawa na kupaka rangi miduara ya grafu hii (inayoitwa grafu) ili hakuna miduara iliyounganishwa yenye rangi sawa. Kuangalia Liechtenstein, Ubelgiji, Ufaransa na Ujerumani inaonyesha kuwa rangi tatu hazitoshi. Ukipenda, Msomaji, ipake rangi na rangi nne.

9. Nani anapakana na nani huko Ulaya?

Kweli, ndio, lakini inafaa pesa za walipa kodi? Kwa hivyo wacha tuangalie grafu sawa tofauti kidogo. Kusahau kwamba kuna majimbo na mipaka. Wacha miduara ifananishe pakiti za habari zinazotumwa kutoka kwa hatua moja hadi nyingine (kwa mfano, kutoka P hadi EST), na sehemu zinawakilisha miunganisho inayowezekana, ambayo kila moja ina bandwidth yake. Tuma haraka iwezekanavyo?

Kwanza, hebu tuangalie hali iliyorahisishwa sana, lakini pia ya kuvutia sana kutoka kwa mtazamo wa hisabati. Tunapaswa kutuma kitu kutoka kwa uhakika S (= kama mwanzo) ili kuelekeza M (= kumaliza) kwa kutumia mtandao wa miunganisho yenye kipimo data sawa, sema 1. Tunaona hii katika mtini. 10.

10. Mtandao wa miunganisho kutoka Statsika Zdrój hadi Megapolis.

Wacha tufikirie kuwa takriban biti 89 za habari zinahitaji kutumwa kutoka S hadi M. Mwandishi wa maneno haya anapenda shida kuhusu treni, kwa hivyo anafikiria kuwa yeye ni meneja katika Stacie Zdrój, kutoka ambapo inabidi atume mabehewa 144. kwa kituo cha jiji. Kwa nini hasa 144? Kwa sababu, kama tutakavyoona, hii itatumika kuhesabu upitishaji wa mtandao mzima. Uwezo ni 1 katika kila kura, i.e. gari moja linaweza kupita kwa kila kitengo cha wakati (kidogo cha habari, ikiwezekana pia Gigabyte).

Hebu tuhakikishe kuwa magari yote yanakutana kwa wakati mmoja katika M. Kila mtu anafika huko kwa vitengo 89 vya muda. Ikiwa nina pakiti ya habari muhimu sana kutoka S hadi M ya kutuma, ninaigawanya katika vikundi vya vitengo 144 na kuisukuma kama ilivyo hapo juu. Hisabati inahakikisha kwamba hii itakuwa ya haraka zaidi. Nilijuaje kuwa unahitaji 89? Kwa kweli nilikisia, lakini ikiwa sikukisia, ningelazimika kuigundua Milinganyo ya Kirchhoff (kuna mtu anayekumbuka? - hizi ni hesabu zinazoelezea mtiririko wa sasa). Bandwidth ya mtandao ni 184/89, ambayo ni takriban sawa na 1,62.

Kuhusu furaha

Kwa njia, napenda nambari 144. Nilipenda kupanda basi na nambari hii hadi Castle Square huko Warsaw - wakati hapakuwa na Castle Castle iliyorejeshwa karibu nayo. Labda wasomaji wachanga wanajua dazeni ni nini. Hiyo ni nakala 12, lakini wasomaji wakubwa tu wanakumbuka kwamba dazeni kadhaa, yaani. 122=144, hii ndiyo inayoitwa kura. Na kila mtu anayejua hisabati zaidi kidogo kuliko mtaala wa shule ataelewa hilo mara moja mtini. 10 tunayo nambari za Fibonacci na kwamba kipimo data cha mtandao kiko karibu na "nambari ya dhahabu"

Katika mlolongo wa Fibonacci, 144 ndiyo nambari pekee ambayo ni mraba kamili. Mia moja arobaini na nne pia ni "nambari ya furaha." Ndivyo mtaalam wa hesabu wa Kihindi ambaye ni mwanahisabati Dattatreya Ramachandra Caprecar mnamo 1955, alitaja nambari ambazo zinaweza kugawanywa kwa jumla ya nambari zao za msingi:

Kama alijua Adam Mickiewicz, bila shaka angeandika hapana katika Dzyady: “Kutoka kwa mama wa ajabu; damu yake ni mashujaa wake wa zamani / Na jina lake ni arobaini na nne, tu kifahari zaidi: Na jina lake ni mia na arobaini na nne.

Chukua burudani kwa uzito

Natumai nimewasadikisha wasomaji kwamba mafumbo ya Sudoku ni upande wa kufurahisha wa maswali ambayo kwa hakika yanafaa kuchukuliwa kwa uzito. Siwezi kuendeleza mada hii zaidi. Lo, hesabu kamili ya kipimo data cha mtandao kutoka kwa mchoro uliotolewa mtini. 9 kuandika mfumo wa milinganyo itachukua saa mbili au zaidi - labda hata makumi ya sekunde (!) za kazi ya kompyuta.