haiba ya nyuma

Kuna mazungumzo mengi juu ya "charm ya wapinzani", na sio tu katika hisabati. Kumbuka kwamba nambari tofauti ni zile ambazo hutofautiana kwa ishara tu: pamoja na 7 na kutoa 7. Jumla ya nambari tofauti ni sifuri. Lakini kwa ajili yetu (yaani wanahisabati) reciprocals ni ya kuvutia zaidi. Ikiwa bidhaa ya nambari ni sawa na 1, basi nambari hizi ni kinyume kwa kila mmoja. Kila nambari ina kinyume chake, kila nambari isiyo ya sifuri ina kinyume chake. Mrejesho wa kuheshimiana ni mbegu.

Ugeuzi hutokea popote pale ambapo kiasi mbili kinahusiana ili moja ikiongezeka, nyingine itapungua kwa kiwango kinacholingana. "Inayohusika" inamaanisha kuwa bidhaa ya idadi hii haibadilika. Tunakumbuka kutoka shuleni: hii ni sehemu ya kinyume. Ikiwa ninataka kufika ninapoenda haraka mara mbili (yaani, kukata wakati katikati), ninahitaji kuongeza kasi yangu mara mbili. Ikiwa kiasi cha chombo kilichofungwa na gesi kinapungua kwa mara n, basi shinikizo lake litaongezeka kwa mara n.

Katika elimu ya msingi, tunatofautisha kwa uangalifu kati ya kulinganisha tofauti na jamaa. "Ni ngapi zaidi"? - "Mara ngapi zaidi?"

Hapa kuna baadhi ya shughuli za shule:

Kazi 1. Kati ya maadili mawili mazuri, ya kwanza ni mara 5 zaidi kuliko ya pili na wakati huo huo mara 5 zaidi kuliko ya kwanza. Vipimo ni vipi?

Kazi 2. Ikiwa nambari moja ni 3 kubwa kuliko ya pili, na ya pili ni 2 kubwa kuliko ya tatu, nambari ya kwanza ni kubwa zaidi kuliko ya tatu? Ikiwa nambari chanya ya kwanza ni mara mbili ya pili, na nambari ya kwanza ni mara tatu ya tatu, ni mara ngapi nambari ya kwanza ni kubwa kuliko ya tatu?

Kazi 3. Katika kazi ya 2, nambari za asili tu zinaruhusiwa. Je, mpangilio kama uliofafanuliwa hapo unawezekana?

Kazi 4. Kati ya maadili mawili mazuri, ya kwanza ni mara 5 ya pili, na ya pili ni mara 5 ya kwanza. Inawezekana?

Wazo la "wastani" au "wastani" inaonekana rahisi sana. Ikiwa niliendesha baiskeli kilomita 55 siku ya Jumatatu, kilomita 45 Jumanne, na kilomita 80 Jumatano, kwa wastani niliendesha baiskeli kilomita 60 kwa siku. Tunakubaliana kwa moyo wote na hesabu hizi, ingawa ni za kushangaza kidogo kwa sababu sijaendesha kilomita 60 kwa siku moja. Tunakubali kwa urahisi hisa za mtu: ikiwa watu mia mbili watatembelea mgahawa ndani ya siku sita, basi kiwango cha wastani cha kila siku ni 33 na watu wa tatu. HM!

Kuna matatizo tu na ukubwa wa wastani. Ninapenda kuendesha baiskeli. Kwa hiyo nilichukua fursa ya ofa ya wakala wa usafiri "Hebu tuende nasi" - wanatoa mizigo kwenye hoteli, ambapo mteja hupanda baiskeli kwa madhumuni ya burudani. Siku ya Ijumaa niliendesha kwa saa nne: mbili za kwanza kwa kasi ya kilomita 24 kwa saa. Kisha nikachoka sana kwamba kwa mbili zilizofuata kwa kiwango cha 16 tu kwa saa. Kasi yangu ya wastani ilikuwa ngapi? Bila shaka (24+16)/2=20km=20km/h.

Jumamosi, hata hivyo, mizigo iliachwa kwenye hoteli, na nilikwenda kuona magofu ya ngome, ambayo ni umbali wa kilomita 24, na baada ya kuwaona, nilirudi. Niliendesha saa moja kwa mwelekeo mmoja, nikarudi polepole zaidi, kwa kasi ya kilomita 16 kwa saa. Je, wastani wangu ulikuwa kasi gani kwenye njia ya hoteli-castle-hoteli? km 20 kwa saa? Bila shaka hapana. Baada ya yote, niliendesha jumla ya kilomita 48 na ilichukua saa moja ("huko") na saa moja na nusu nyuma. 48 km katika masaa mawili na nusu, i.e. saa 48/2,5=192/10=19,2 km! Katika hali hii, kasi ya wastani sio maana ya hesabu, lakini usawa wa maadili uliyopewa:

na fomula hii ya hadithi mbili inaweza kusomwa kama ifuatavyo: maana ya harmonic ya nambari chanya ni ulinganifu wa maana ya hesabu ya maelewano yao. Kubadilishana kwa jumla ya inverses inaonekana katika chorus nyingi za kazi za shule: ikiwa mfanyakazi mmoja humba masaa, mwingine - masaa b, basi, wakifanya kazi pamoja, wanachimba kwa wakati. bwawa la maji (moja kwa saa, lingine saa b). Ikiwa resistor moja ina R1 na nyingine ina R2, basi wana upinzani sambamba. 

Ikiwa kompyuta moja inaweza kutatua tatizo kwa sekunde, kompyuta nyingine katika sekunde b, basi inapofanya kazi pamoja...

Acha! Hii ndio ambapo mlinganisho unaisha, kwa sababu kila kitu kinategemea kasi ya mtandao: ufanisi wa viunganisho. Wafanyakazi wanaweza pia kuzuia au kusaidiana. Ikiwa mtu mmoja anaweza kuchimba kisima kwa saa nane, je wafanyakazi themanini wanaweza kuchimba kwa 1/10 ya saa (au dakika 6)? Ikiwa wapagazi sita watapeleka piano kwenye orofa ya kwanza baada ya dakika 6, itamchukua muda gani mmoja wao kuwasilisha piano kwenye ghorofa ya sitini? Upuuzi wa matatizo hayo huleta akilini utumiaji mdogo wa hisabati zote kwa matatizo "kutoka kwa maisha".

Kuhusu muuzaji mwenye nguvu 

Mizani haitumiki tena. Kumbuka kwamba uzito uliwekwa kwenye bakuli moja la mizani hiyo, na bidhaa zinazopimwa ziliwekwa kwenye nyingine, na wakati uzito ulipokuwa katika usawa, basi bidhaa zinapimwa sawa na uzito. Bila shaka, mikono yote miwili ya mzigo wa uzito lazima iwe urefu sawa, vinginevyo uzito utakuwa sahihi.

Oh sawa. Hebu fikiria muuzaji ambaye ana uzito usio na usawa. Hata hivyo, anataka kuwa mwaminifu kwa wateja na kupima bidhaa katika makundi mawili. Kwanza, anaweka uzito kwenye sufuria moja, na kwa upande mwingine kiasi sawa cha bidhaa - ili mizani iwe na usawa. Kisha anapima "nusu" ya pili ya bidhaa kwa utaratibu wa kinyume, yaani, anaweka uzito kwenye bakuli la pili, na bidhaa kwa kwanza. Kwa kuwa mikono haina usawa, "nusu" hazifanani kamwe. Na dhamiri ya muuzaji ni wazi, na wanunuzi wanasifu uaminifu wake: "Nilichoondoa hapa, kisha nikaongeza."

Hata hivyo, hebu tuchunguze kwa undani zaidi tabia ya muuzaji ambaye anataka kuwa mwaminifu licha ya uzito wa hatari. Acha mikono ya usawa iwe na urefu a na b. Ikiwa bakuli moja imepakiwa na uzito wa kilo na nyingine na bidhaa x, basi mizani iko katika usawa ikiwa shoka = b mara ya kwanza na bx = a mara ya pili. Kwa hivyo, sehemu ya kwanza ya bidhaa ni sawa na b / kilo, sehemu ya pili ni / b. Uzito mzuri una = b, hivyo mnunuzi atapokea kilo 2 za bidhaa. Hebu tuone kinachotokea wakati ≠ b. Kisha - b ≠ 0 na kutoka kwa formula iliyopunguzwa ya kuzidisha tunayo

Tulikuja kwa matokeo yasiyotarajiwa: njia inayoonekana kuwa ya haki ya "wastani" wa kipimo katika kesi hii inafanya kazi kwa manufaa ya mnunuzi, ambaye anapokea bidhaa zaidi.

Zoezi 5. (Muhimu, kwa njia yoyote katika hisabati!). Mbu ana uzito wa miligramu 2,5, na tembo tani tano (hii ni data sahihi kabisa). Kokotoa wastani wa hesabu, wastani wa kijiometri, na maana ya usawa ya wingi wa mbu na tembo (uzito). Angalia mahesabu na uone kama yana maana yoyote kando na mazoezi ya hesabu. Hebu tuangalie mifano mingine ya mahesabu ya hisabati ambayo hayana maana katika "maisha halisi". Kidokezo: Tayari tumeangalia mfano mmoja katika makala hii. Je, hii ina maana kwamba mwanafunzi asiyejulikana ambaye maoni yake nilipata kwenye mtandao yalikuwa sahihi: "Hesabu huwapumbaza watu kwa nambari"?

Ndio, nakubali kwamba katika ukuu wa hesabu, unaweza "kuwapumbaza" watu - kila tangazo la pili la shampoo linasema kwamba huongeza fluffiness kwa asilimia fulani. Je, tutafute mifano mingine ya zana muhimu za kila siku ambazo zinaweza kutumika kwa shughuli za uhalifu?

Gramu!

Kichwa cha kifungu hiki ni kitenzi (mtu wa kwanza wingi) sio nomino (wingi nomino ya elfu moja ya kilo). Harmony ina maana ya utaratibu na muziki. Kwa Wagiriki wa kale, muziki ulikuwa tawi la sayansi - ni lazima ikubalike kwamba ikiwa tunasema hivyo, tunahamisha maana ya sasa ya neno "sayansi" hadi wakati kabla ya enzi yetu. Pythagoras aliishi katika karne ya XNUMX KK. Hakujua tu kompyuta, simu ya mkononi na barua pepe, lakini pia hakujua ni nani Robert Lewandowski, Mieszko I, Charlemagne na Cicero. Hakujua nambari za Kiarabu au hata za Kirumi (zilianza kutumika karibu karne ya XNUMX KK), hakujua Vita vya Punic vilikuwa nini ... Lakini alijua muziki ...

Alijua kwamba kwenye ala za nyuzi viambajengo vya mtetemo viliwiana kinyume na urefu wa sehemu zinazotetemeka za nyuzi. Alijua, alijua, hangeweza tu kulieleza jinsi tunavyolifanya leo.

Mzunguko wa vibrations mbili za kamba zinazounda octave ziko katika uwiano wa 1: 2, yaani, mzunguko wa noti ya juu ni mara mbili ya mzunguko wa chini. Uwiano sahihi wa mtetemo wa tano ni 2:3, nne ni 3:4, tatu kuu ni 4:5, tatu ndogo ni 5:6. Hivi ni vipindi vya konsonanti vya kupendeza. Kisha kuna zile mbili zisizo na upande, na uwiano wa vibration wa 6: 7 na 7: 8, kisha dissonant - tone kubwa (8: 9), tone ndogo (9:10). Sehemu hizi (uwiano) ni kama uwiano wa washiriki wanaofuatana wa mlolongo ambao wanahisabati (kwa sababu hii hii) huita mfululizo wa harmonic:

ni jumla ya kinadharia isiyo na kikomo. Uwiano wa oscillations ya oktava inaweza kuandikwa kama 2:4 na kuweka tano kati yao: 2:3:4, yaani, tutagawanya oktava katika tano na nne. Hii inaitwa mgawanyiko wa sehemu ya harmonic katika hisabati:

Mchele. 1. Kwa mwanamuziki: kugawanya oktava AB katika AC ya tano.Kwa Mwanahisabati: Sehemu ya Harmonic

Ninamaanisha nini ninapozungumza (hapo juu) kuhusu jumla ya kinadharia isiyo na kikomo, kama vile mfululizo wa sauti? Inatokea kwamba jumla hiyo inaweza kuwa idadi yoyote kubwa, jambo kuu ni kwamba tunaongeza kwa muda mrefu. Kuna viungo vichache na vichache, lakini kuna zaidi na zaidi. Nini kinashinda? Hapa tunaingia kwenye uwanja wa uchambuzi wa hisabati. Inatokea kwamba viungo vinapungua, lakini si haraka sana. Nitaonyesha kuwa kwa kuchukua viungo vya kutosha, naweza kuhitimisha:

kubwa kiholela. Hebu tuchukue "kwa mfano" n = 1024. Hebu tuweke maneno katika vikundi kama inavyoonyeshwa kwenye takwimu:

Katika kila mabano, kila neno ni kubwa zaidi kuliko la awali, isipokuwa, bila shaka, la mwisho, ambalo ni sawa na yenyewe. Katika mabano yafuatayo, tuna vipengele 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 na 512; thamani ya jumla katika kila mabano ni kubwa kuliko ½. Yote hii ni zaidi ya 5½. Hesabu sahihi zaidi zingeonyesha kuwa kiasi hiki ni takriban 7,50918. Si sana, lakini daima, na unaweza kuona kwamba kwa kuchukua n yoyote kubwa, naweza outperform idadi yoyote. Huyu ni mwepesi sana (kwa mfano, tunaongoza kumi na viungo pekee), lakini ukuaji usio na kipimo umewavutia wanahisabati kila wakati.

Safari ya infinity na mfululizo wa harmonic

Hapa kuna fumbo kwa hesabu kali sana. Tuna ugavi usio na kikomo wa vitalu vya mstatili (ninaweza kusema nini, mstatili!) na vipimo, sema, 4 × 2 × 1. Fikiria mfumo unaojumuisha kadhaa (juu ya mtini. 2 - nne) vitalu, vilivyopangwa ili ya kwanza ielekezwe na ½ ya urefu wake, ya pili kutoka juu na ¼ na kadhalika, ya tatu kwa moja ya sita. Kweli, labda kuifanya iwe thabiti, wacha tuinamishe tofali la kwanza kidogo. Haijalishi kwa mahesabu.

Mchele. 2. Kuamua katikati ya mvuto

Pia ni rahisi kuelewa kwamba tangu takwimu inayojumuisha vitalu viwili vya kwanza (kuhesabu kutoka juu) ina kituo cha ulinganifu katika hatua B, basi B ni katikati ya mvuto. Hebu tufafanue kijiometri katikati ya mvuto wa mfumo, unaojumuisha vitalu vitatu vya juu. Hoja rahisi sana inatosha hapa. Wacha tugawanye kiakili muundo wa block tatu kuwa mbili za juu na moja ya tatu ya chini. Kituo hiki kinapaswa kulala kwenye sehemu inayounganisha vituo vya mvuto wa sehemu mbili. Katika hatua gani katika kipindi hiki?

Kuna njia mbili za kuteua. Katika kwanza, tutatumia uchunguzi kwamba kituo hiki kinapaswa kulala katikati ya piramidi ya vitalu vitatu, yaani, kwenye mstari wa moja kwa moja unaoingilia kuzuia pili, katikati. Kwa njia ya pili, tunaelewa kwamba kwa kuwa vitalu viwili vya juu vina jumla ya wingi wa mara mbili ya block moja # 3 (juu), katikati ya mvuto kwenye sehemu hii lazima iwe karibu mara mbili na B kama ilivyo katikati. S ya block ya tatu. Vile vile, tunapata hatua inayofuata: tunaunganisha kituo kilichopatikana cha vitalu vitatu na kituo cha S cha block ya nne. Katikati ya mfumo mzima iko kwenye urefu wa 2 na kwa hatua inayogawanya sehemu kwa 1 hadi 3 (yaani, kwa ¾ ya urefu wake).

Mahesabu ambayo tutafanya kidogo zaidi yatasababisha matokeo yaliyoonyeshwa kwenye Mtini. mtini 3. Vituo vya mfululizo vya mvuto huondolewa kutoka kwa makali ya kulia ya kizuizi cha chini na:

Kwa hivyo, makadirio ya kituo cha mvuto wa piramidi ni daima ndani ya msingi. Mnara hautaanguka. Sasa tuangalie mtini. 3 na kwa muda, wacha tutumie kizuizi cha tano kutoka juu kama msingi (ulio na alama ya rangi angavu). Inayoelekezwa juu:

kwa hivyo, makali yake ya kushoto ni 1 zaidi kuliko makali ya kulia ya msingi. Hapa kuna swing inayofuata:

Bembea kubwa zaidi ni ipi? Tayari tunajua! Hakuna mkuu! Kuchukua hata vitalu vidogo zaidi, unaweza kupata overhang ya kilomita moja - kwa bahati mbaya, tu hisabati: Dunia nzima haitoshi kujenga vitalu vingi!

Mchele. 3. Ongeza vizuizi zaidi

Sasa mahesabu ambayo tuliacha hapo juu. Tutahesabu umbali wote "usawa" kwenye mhimili wa x, kwa sababu hiyo ndiyo yote. Uhakika A (katikati ya mvuto wa block ya kwanza) ni 1/2 kutoka kwa makali ya kulia. Pointi B (katikati ya mfumo wa block mbili) iko 1/4 mbali na ukingo wa kulia wa block ya pili. Hebu hatua ya mwanzo iwe mwisho wa block ya pili (sasa tutaendelea hadi ya tatu). Kwa mfano, ni wapi kitovu cha mvuto wa block moja #3? Nusu ya urefu wa kizuizi hiki, kwa hiyo, ni 1/2 + 1/4 = 3/4 kutoka kwa hatua yetu ya kumbukumbu. Point C iko wapi? Katika theluthi mbili ya sehemu kati ya 3/4 na 1/4, yaani, katika hatua ya awali, tunabadilisha hatua ya kumbukumbu kwenye makali ya kulia ya block ya tatu. Katikati ya mvuto wa mfumo wa kuzuia tatu sasa imeondolewa kwenye hatua mpya ya kumbukumbu, na kadhalika. Kituo cha mvuto C_n mnara unaojumuisha vizuizi vya n uko umbali wa 1/2n kutoka sehemu ya kumbukumbu ya papo hapo, ambayo ni ukingo wa kulia wa kizuizi cha msingi, yaani, kizuizi cha nth kutoka juu.

Kwa kuwa mfululizo wa upatanishi hutofautiana, tunaweza kupata tofauti yoyote kubwa. Je, hii inaweza kweli kutekelezwa? Ni kama mnara wa matofali usio na mwisho - mapema au baadaye utaanguka chini ya uzito wake mwenyewe. Katika mpango wetu, makosa machache katika uwekaji vitalu (na ongezeko la polepole la kiasi cha kiasi cha mfululizo) inamaanisha hatutafika mbali sana.