Njia za kijiometri na vichaka

Nilipokuwa nikiandika makala hii, nilikumbuka wimbo wa zamani sana wa Jan Pietrzak, ambao aliuimba kabla ya shughuli yake ya kejeli katika cabaret Pod Egidą, inayotambuliwa katika Jamhuri ya Watu wa Poland kama vali ya usalama; mtu anaweza kucheka kwa uaminifu katika paradoksia za mfumo. Katika wimbo huu, mwandishi alipendekeza ushiriki wa kisiasa wa kijamaa, kuwakejeli wale wanaotaka kuwa wa kisiasa na kuzima redio kwenye gazeti. "Ni bora kurudi kusoma shuleni," Petshak mwenye umri wa miaka XNUMX wakati huo aliimba kwa kejeli.

Ninarudi shuleni kusoma. Ninasoma tena (sio kwa mara ya kwanza) kitabu cha Shchepan Yelensky (1881-1949) "Lylavati". Kwa wasomaji wachache, neno lenyewe linasema kitu. Hili ni jina la binti wa mwanahisabati maarufu wa Kihindu anayejulikana kama Bhaskara (1114-1185), aitwaye Akaria, au mtaalamu aliyetaja kitabu chake cha algebra kwa jina hilo. Lilavati baadaye akawa mwanahisabati na mwanafalsafa mashuhuri mwenyewe. Kulingana na vyanzo vingine, ni yeye aliyeandika kitabu mwenyewe.

Szczepan Yelensky alitoa kichwa sawa na kitabu chake juu ya hisabati (toleo la kwanza, 1926). Inaweza hata kuwa vigumu kukiita kitabu hiki kazi ya hisabati - kilikuwa zaidi ya seti ya mafumbo, na kwa kiasi kikubwa kiliandikwa upya kutoka vyanzo vya Kifaransa (hakimiliki kwa maana ya kisasa hazikuwepo). Kwa hali yoyote, kwa miaka mingi ilikuwa kitabu pekee maarufu cha Kipolishi juu ya hisabati - baadaye kitabu cha pili cha Jelensky, Pipi za Pythagoras, kiliongezwa kwake. Kwa hivyo vijana wanaopenda hesabu (ambayo ndivyo nilivyokuwa zamani) hawakuwa na chochote cha kuchagua ...

kwa upande mwingine, "Lilavati" ilibidi ijulikane karibu kwa moyo ... Ah, kulikuwa na nyakati ... Faida yao kubwa ilikuwa kwamba nilikuwa ... kijana wakati huo. Leo, kutoka kwa mtazamo wa mtaalam wa hesabu aliyeelimika vizuri, ninamtazama Lilavati kwa njia tofauti kabisa - labda kama mpandaji kwenye bends ya njia ya Shpiglasova Pshelench. Hakuna mmoja au mwingine anayepoteza haiba yake ... Kwa mtindo wake wa tabia, Shchepan Yelensky, ambaye anakiri kinachojulikana kama maoni ya kitaifa katika maisha yake ya kibinafsi, anaandika katika utangulizi:

Bila kugusa maelezo ya sifa za kitaifa, nitasema kwamba hata baada ya miaka tisini, maneno ya Yelensky kuhusu hisabati hayakupoteza umuhimu wao. Hisabati inakufundisha kufikiri. Ni ukweli. Je, tunaweza kukufundisha kufikiri tofauti, kwa urahisi zaidi na kwa uzuri zaidi? Labda. Ni ... bado hatuwezi. Ninawaeleza wanafunzi wangu ambao hawataki kufanya hesabu kwamba huu pia ni mtihani wa akili zao. Ikiwa huwezi kujifunza nadharia rahisi ya hesabu, basi ... labda uwezo wako wa kiakili ni mbaya zaidi kuliko sisi sote tungependa ...?

Ishara kwenye mchanga

Na hapa ni hadithi ya kwanza katika "Lylavati" - hadithi iliyoelezwa na mwanafalsafa wa Kifaransa Joseph de Maistre (1753-1821).

Baharia kutoka kwenye meli iliyoharibika alirushwa na mawimbi kwenye ufuo tupu, ambao aliuona kuwa hauna watu. Ghafla, katika mchanga wa pwani, aliona athari ya takwimu ya kijiometri iliyochorwa mbele ya mtu. Hapo ndipo alipogundua kuwa kisiwa hicho hakijaachwa!

Akimnukuu de Mestri, Yelensky anaandika: takwimu ya kijiometriingekuwa kujieleza bubu kwa bahati mbaya, meli iliyoanguka, kwa bahati mbaya, lakini alimwonyesha kwa mtazamo wa uwiano na idadi, na hii ilitangaza mtu aliyeelimika. Sana kwa historia.

Kumbuka kwamba baharia atasababisha majibu sawa, kwa mfano, kwa kuchora barua K, ... na athari nyingine yoyote ya uwepo wa mtu. Hapa jiometri ni bora.

Hata hivyo, mwanaastronomia Camille Flammarion (1847-1925) alipendekeza kwamba ustaarabu usalimiane kutoka mbali kwa kutumia jiometri. Aliona katika hili jaribio pekee sahihi na linalowezekana la mawasiliano. Wacha tuonyeshe watu kama hao wa Martian pembetatu za Pythagorean ... watatujibu na Thales, tutawajibu na mifumo ya Vieta, mduara wao utaingia kwenye pembetatu, kwa hivyo urafiki ulianza ...

Waandishi kama vile Jules Verne na Stanislav Lem walirudi kwenye wazo hili. Na mnamo 1972, tiles zilizo na muundo wa kijiometri (na sio tu) ziliwekwa kwenye ubao wa uchunguzi wa Pioneer, ambao bado unapitia anga za anga, sasa karibu vitengo 140 vya unajimu kutoka kwetu (1 Mimi ni umbali wa wastani wa Dunia kutoka kwa Dunia) . Jua, yaani, karibu kilomita milioni 149). Kigae kiliundwa, kwa sehemu, na mwanaanga Frank Drake, muundaji wa sheria yenye utata juu ya idadi ya ustaarabu wa nje ya dunia.

Jiometri ni ya kushangaza. Sote tunajua maoni ya jumla juu ya asili ya sayansi hii. Sisi (sisi wanadamu) ndio tumeanza kupima ardhi (na baadaye ardhi) kwa madhumuni ya matumizi zaidi. Kuamua umbali, kuchora mistari ya moja kwa moja, kuashiria pembe za kulia na kuhesabu kiasi hatua kwa hatua ikawa jambo la lazima. Kwa hivyo jambo zima jiometri ("Kipimo cha dunia"), kwa hivyo hisabati zote ...

Walakini, kwa muda picha hii ya wazi ya historia ya sayansi ilitufunika. Kwani kama hisabati ingehitajika kwa madhumuni ya uendeshaji pekee, tusingehusika katika kuthibitisha nadharia rahisi. "Unaona kwamba hii inapaswa kuwa kweli kabisa," mtu angesema baada ya kuangalia kwamba katika pembetatu kadhaa za kulia jumla ya miraba ya hypotenuses ni sawa na mraba wa hypotenuse. Kwa nini urasimi huo?

Plum pie inapaswa kuwa ladha, programu ya kompyuta inapaswa kufanya kazi, mashine inapaswa kufanya kazi. Ikiwa nilihesabu uwezo wa pipa mara thelathini na kila kitu kiko kwa utaratibu, basi kwa nini kingine?

Wakati huo huo, ilitokea kwa Wagiriki wa kale kwamba baadhi ya ushahidi rasmi unahitajika kupatikana.

Kwa hivyo, hisabati huanza na Thales (625-547 KK). Inafikiriwa kuwa ni Mileto ambaye alianza kushangaa kwa nini. Haitoshi kwa watu wenye akili kwamba wameona kitu, kwamba wana hakika juu ya jambo fulani. Waliona uhitaji wa uthibitisho, mfuatano wa kimantiki wa hoja kutoka kwa dhana hadi tasnifu.

Pia walitaka zaidi. Labda alikuwa Thales ambaye alijaribu kwanza kuelezea matukio ya kimwili kwa njia ya asili, bila kuingilia kati kwa Mungu. Falsafa ya Uropa ilianza na falsafa ya maumbile - na kile ambacho tayari kiko nyuma ya fizikia (kwa hivyo jina: metafizikia). Lakini misingi ya ontolojia ya Ulaya na falsafa ya asili iliwekwa na Pythagoreans (Pythagoras, c. 580-c. 500 BC).

Alianzisha shule yake mwenyewe huko Crotone kusini mwa Peninsula ya Apennine - leo tunaweza kuiita dhehebu. Sayansi (kwa maana ya sasa ya neno), usiri, dini na fantasia zote zimeunganishwa kwa karibu. Thomas Mann aliwasilisha kwa uzuri sana masomo ya hisabati katika jumba la mazoezi la Ujerumani katika riwaya ya Doctor Faustus. Ilitafsiriwa na Maria Kuretskaya na Witold Virpsha, kipande hiki kinasomeka:

Katika kitabu cha kupendeza cha Charles van Doren, Historia ya Ujuzi kutoka Alfajiri ya Historia hadi Siku ya Sasa, nilipata maoni yenye kupendeza sana. Katika moja ya sura, mwandishi anaelezea umuhimu wa shule ya Pythagorean. Kichwa chenyewe cha sura hiyo kilinigusa. Inasomeka: "Uvumbuzi wa Hisabati: Pythagoreans".

Mara nyingi tunajadili iwapo nadharia za hisabati zinagunduliwa (km ardhi zisizojulikana) au kuvumbuliwa (kwa mfano, mashine ambazo hazikuwepo hapo awali). Baadhi ya wanahisabati wabunifu hujiona kama watafiti, wengine kama wavumbuzi au wabunifu, mara chache huwa vihesabio.

Lakini mwandishi wa kitabu hiki anaandika juu ya uvumbuzi wa hisabati kwa ujumla.

Kutoka kwa kutia chumvi hadi udanganyifu

Baada ya sehemu hii ndefu ya utangulizi, nitaendelea hadi mwanzo kabisa. jiometrikuelezea jinsi kutegemea zaidi jiometri kunaweza kupotosha mwanasayansi. Johannes Kepler anajulikana katika fizikia na unajimu kama mgunduzi wa sheria tatu za mwendo wa miili ya mbinguni. Kwanza, kila sayari katika mfumo wa jua huzunguka jua katika obiti ya duaradufu, kwenye mojawapo ya foci ambayo ni jua. Pili, kwa vipindi vya kawaida miale inayoongoza ya sayari, inayotolewa kutoka Jua, huchota uwanja sawa. Tatu, uwiano wa mraba wa kipindi cha mapinduzi ya sayari kuzunguka Jua hadi mchemraba wa mhimili wa nusu-mkubwa wa obiti yake (yaani, umbali wa wastani kutoka kwa Jua) ni mara kwa mara kwa sayari zote kwenye mfumo wa jua.

Labda hii ilikuwa sheria ya tatu - ilihitaji data nyingi na mahesabu ili kuianzisha, ambayo ilimfanya Kepler kuendelea kutafuta mifumo katika harakati na nafasi ya sayari. Historia ya "ugunduzi" wake mpya inafundisha sana. Tangu nyakati za zamani, tumevutiwa sio tu na polihedra za kawaida, lakini pia hoja zinazoonyesha kuwa kuna tano tu kati yao kwenye nafasi. Polihedroni yenye sura tatu inaitwa kawaida ikiwa nyuso zake zina poligoni za kawaida na kila kipeo kina idadi sawa ya kingo. Kwa mfano, kila kona ya polihedron ya kawaida inapaswa "kuonekana sawa". Polyhedron maarufu zaidi ni mchemraba. Kila mtu ameona kifundo cha mguu wa kawaida.

Tetrahedron ya kawaida haijulikani sana, na shuleni inaitwa piramidi ya kawaida ya triangular. Inaonekana kama piramidi. polihedra tatu zilizobaki za kawaida hazijulikani sana. Octahedron huundwa tunapounganisha vituo vya kingo za mchemraba. Dodekahedron na icosahedron tayari zinaonekana kama mipira. Imefanywa kutoka kwa ngozi laini, wangekuwa vizuri kuchimba. Hoja ya kwamba hakuna polihedra ya kawaida isipokuwa yale yabisi tano ya Plato ni nzuri sana. Kwanza, tunagundua kuwa ikiwa mwili ni wa kawaida, basi nambari sawa (wacha q) ya poligoni zinazofanana za kawaida lazima ziungane kwenye kila kipeo, acha hizi ziwe p-angles. Sasa tunahitaji kukumbuka ni pembe gani katika poligoni ya kawaida. Ikiwa mtu hakumbuki kutoka shuleni, tunakukumbusha jinsi ya kupata muundo sahihi. Tulichukua safari kuzunguka kona. Katika kila vertex tunageuka kupitia pembe sawa a. Tunapozunguka poligoni na kurudi kwenye sehemu ya kuanzia, tumefanya p zamu kama hizo, na kwa jumla tumegeuka digrii 360.

Lakini α ni kamilisha digrii 180 za pembe tunayotaka kukokotoa, na kwa hivyo ndivyo ilivyo

Tumepata fomula ya pembe (mwanahisabati angesema: vipimo vya pembe) ya poligoni ya kawaida. Hebu tuangalie: katika pembetatu p = 3, hakuna a

Kama hii. Wakati p = 4 (mraba), basi

digrii pia ni sawa.

Tunapata nini kwa pentagon? Kwa hivyo ni nini hufanyika wakati kuna poligoni q, kila p ikiwa na pembe sawa

 digrii kushuka kwenye vertex moja? Ikiwa ilikuwa kwenye ndege, basi pembe ingeunda

digrii na haiwezi kuwa zaidi ya digrii 360 - kwa sababu basi poligoni huingiliana.

Walakini, kwa kuwa poligoni hizi hukutana angani, pembe lazima iwe chini ya pembe kamili.

Na hapa kuna ukosefu wa usawa ambao yote hufuata:

Igawe kwa 180, zidisha sehemu zote mbili kwa p, mpangilio (p-2) (q-2) < 4. Nini kinafuata? Hebu tufahamu kwamba p na q lazima ziwe nambari za asili na kwamba p > 2 (kwa nini? Na p ni nini?) na pia q > 2. Hakuna njia nyingi za kufanya bidhaa ya nambari mbili za asili chini ya 4. nitaziorodhesha zote kwenye jedwali 1.

Sichapishi michoro, kila mtu anaweza kuona takwimu hizi kwenye mtandao ... Kwenye mtandao ... sitakataa digression ya sauti - labda ni ya kuvutia kwa wasomaji wadogo. Mwaka 1970 nilizungumza kwenye semina. Mada ilikuwa ngumu. Nilikuwa na muda mchache wa kujiandaa, nilikaa jioni. Nakala kuu ilisomwa tu mahali pake. Mahali hapo palikuwa pazuri, na hali ya kufanya kazi, vizuri, ilifungwa saa saba. Kisha bibi arusi (sasa mke wangu) mwenyewe alijitolea kuniandikia tena makala yote: kuhusu kurasa kadhaa zilizochapishwa. Nilinakili (hapana, si kwa kalamu ya quill, hata tulikuwa na kalamu), hotuba ilifanikiwa. Leo nilijaribu kutafuta chapisho hili, ambalo tayari ni la zamani. Nakumbuka tu jina la mwandishi ... Utafutaji kwenye mtandao ulichukua muda mrefu ... dakika kumi na tano kamili. Ninafikiria juu yake kwa tabasamu na majuto kidogo yasiyo na sababu.

Tunarudi kwa Keplera na jiometri. Inaonekana, Plato alitabiri kuwepo kwa fomu ya tano ya kawaida kwa sababu alikosa kitu cha kuunganisha, kinachofunika ulimwengu wote. Labda ndio maana alimwagiza mwanafunzi (Theajtet) amtafute. Kama ilivyokuwa, ndivyo ilivyokuwa, kwa msingi ambao dodecahedron iligunduliwa. Tabia hii ya Plato tunaiita pantheism. Wanasayansi wote, hadi Newton, walishindwa nayo kwa kiwango kikubwa au kidogo. Tangu karne ya kumi na nane yenye busara, ushawishi wake umepungua sana, ingawa hatupaswi kuona aibu kwamba sisi sote tunashindwa nayo kwa njia moja au nyingine.

Katika dhana ya Kepler ya kujenga mfumo wa jua, kila kitu kilikuwa sahihi, data ya majaribio sanjari na nadharia, nadharia ilikuwa mantiki madhubuti, nzuri sana ... lakini uongo kabisa. Wakati wake, sayari sita tu zilijulikana: Mercury, Venus, Dunia, Mars, Jupiter na Zohali. Kwa nini kuna sayari sita tu? Kepler aliuliza. Na ni kawaida gani huamua umbali wao kutoka kwa Jua? Alidhani kwamba kila kitu kilikuwa kimeunganishwa, hivyo jiometri na cosmogony wanahusiana kwa karibu. Kutoka kwa maandishi ya Wagiriki wa kale, alijua kwamba kulikuwa na polihedra tano tu za kawaida. Aliona kwamba kulikuwa na voids tano kati ya obiti sita. Kwa hivyo labda kila moja ya nafasi hizi za bure inalingana na polihedron ya kawaida?

Baada ya miaka kadhaa ya uchunguzi na kazi ya kinadharia, aliunda nadharia ifuatayo, kwa msaada wa ambayo alihesabu kwa usahihi kabisa vipimo vya obiti, ambayo aliwasilisha katika kitabu "Mysterium Cosmographicum", kilichochapishwa mwaka wa 1596: Fikiria nyanja kubwa. kipenyo chake ni kipenyo cha obiti ya Mercury katika mwendo wake wa kila mwaka kuzunguka jua. Kisha fikiria kwamba kwenye nyanja hii kuna octahedron ya kawaida, juu yake tufe, juu yake icosahedron, juu yake tena nyanja, juu yake dodecahedron, juu yake nyanja nyingine, juu yake tetrahedron, kisha tena nyanja, mchemraba. na, hatimaye, kwenye mchemraba huu mpira umeelezwa.

Kepler alihitimisha kwamba kipenyo cha tufe hizi zinazofuatana kilikuwa kipenyo cha mizunguko ya sayari nyingine: Mercury, Venus, Earth, Mars, Jupiter, na Zohali. Nadharia hiyo ilionekana kuwa sahihi sana. Kwa bahati mbaya, hii iliambatana na data ya majaribio. Na ni ushahidi gani bora zaidi wa usahihi wa nadharia ya hisabati kuliko mawasiliano yake na data ya majaribio au data ya uchunguzi, hasa "iliyochukuliwa kutoka mbinguni"? Ninatoa muhtasari wa hesabu hizi katika Jedwali 2. Kwa hivyo Kepler alifanya nini? Nilijaribu na kujaribu hadi ikafanya kazi, ambayo ni, wakati usanidi (utaratibu wa nyanja) na mahesabu yaliyotokana yanaambatana na data ya uchunguzi. Hapa kuna takwimu na mahesabu ya kisasa ya Kepler:

Mtu anaweza kushindwa na msukumo wa nadharia na kuamini kwamba vipimo vya mbinguni sio sahihi, na sio mahesabu yaliyofanywa katika ukimya wa warsha. Kwa bahati mbaya, leo tunajua kwamba kuna angalau sayari tisa na kwamba sadfa zote za matokeo ni bahati mbaya tu. Huruma. Ilikuwa nzuri sana ...