Safari katika ulimwengu usio wa kweli wa hisabati

Niliandika makala hii Jumatano, baada ya hotuba na mazoezi katika chuo cha sayansi ya kompyuta. Ninajitetea dhidi ya ukosoaji wa wanafunzi wa shule hii, maarifa yao, mtazamo kwa sayansi, na muhimu zaidi: ustadi wa kufundisha. Hii ... hakuna mtu anayewafundisha.

Kwa nini ninajitetea sana? Kwa sababu rahisi - niko katika umri ambapo, pengine, ulimwengu unaotuzunguka bado haujaeleweka. Labda ninawafundisha kuunganisha na kuondoa farasi, na sio kuendesha gari? Labda niwafundishe kuandika kwa kalamu ya quill? Ingawa nina maoni bora juu ya mtu, najiona "ninafuata", lakini ...

Hadi hivi majuzi, katika shule ya upili, walizungumza juu ya nambari ngumu. Na ilikuwa Jumatano hii niliporudi nyumbani, nikaacha - karibu hakuna mwanafunzi ambaye bado amejifunza ni nini na jinsi ya kutumia nambari hizi. Wengine hutazama hesabu zote kama goose kwenye mlango uliopakwa rangi. Lakini pia nilishangaa sana waliponiambia jinsi ya kujifunza. Kuweka tu, kila saa ya hotuba ni saa mbili za kazi ya nyumbani: kusoma kitabu, kujifunza jinsi ya kutatua matatizo kwenye mada fulani, nk. Baada ya kujiandaa kwa njia hii, tunakuja kwenye mazoezi, ambapo tunaboresha kila kitu ...

Acha! Inatosha kwa hili. Nitaeleza jibu langu kwa swali nililopata nikiwa darasani na wenzangu kutoka Mfuko wa Taifa wa Watoto, taasisi inayosaidia watoto wenye vipaji kutoka kote nchini. Swali (au tuseme pendekezo) lilikuwa:

- Unaweza kutuambia kitu kuhusu nambari zisizo za kweli?

“Bila shaka,” nilijibu. 

Ukweli wa nambari

"Rafiki ni mimi mwingine, urafiki ni uwiano wa nambari 220 na 284," Pythagoras alisema. Jambo hapa ni kwamba jumla ya vigawanyiko vya nambari 220 ni 284, na jumla ya vigawanyiko vya nambari 284 ni 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. Kwa njia, tunaona kwamba Yakobo wa Biblia alimpa Esau kondoo na kondoo dume 220 kama ishara ya urafiki ( Mwanzo 32:14 ) )

Sadfa nyingine ya kuvutia kati ya nambari 220 na 284 ni hii: nambari kuu kumi na saba ni 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 , na 59.

Jumla yao ni 2x220, na jumla ya mraba ni 59x284.

Kwanza. Hakuna dhana ya "nambari halisi". Ni kama baada ya kusoma makala kuhusu tembo, unauliza, "Sasa tutawauliza wasio tembo." Kuna nzima na isiyo kamili, ya busara na isiyo na maana, lakini hakuna isiyo ya kweli. Hasa: nambari ambazo si za kweli hazijaitwa batili. Kuna aina nyingi za "nambari" katika hisabati, na hutofautiana kutoka kwa kila mmoja, kama - kuchukua ulinganisho wa zoological - tembo na mdudu wa ardhi.

Pili, tutafanya shughuli ambazo unaweza kujua kuwa zimekatazwa: kutoa mizizi ya mraba ya nambari hasi. Kweli, hisabati itashinda vizuizi kama hivyo. Je, inaleta maana? Katika hisabati, kama katika sayansi nyingine yoyote, ikiwa nadharia inaingia milele kwenye hazina ya ujuzi inategemea ... juu ya matumizi yake. Ikiwa haina maana, basi inaishia kwenye takataka, kisha katika baadhi ya takataka za historia ya ujuzi. Bila nambari ambazo ninazungumza juu ya mwisho wa nakala hii, haiwezekani kukuza hesabu. Lakini wacha tuanze na mambo madogo. Nambari za kweli ni nini, unajua. Wanajaza mstari wa nambari kwa wingi na bila mapengo. Unajua pia nambari asilia ni nini: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - zote hazitafaa. kumbukumbu hata kubwa zaidi. Pia wana jina zuri: asili. Wana mali nyingi za kuvutia. Unapendaje hii:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

“Ni jambo la kawaida kupendezwa na idadi asilia,” akasema Karl Lindenholm, na Leopold Kronecker (1823–1891) waliweka jambo hilo kwa ufupi: “Mungu aliumba namba za asili—kila kitu kingine ni kazi ya mwanadamu!” Sehemu (zinazoitwa nambari za busara na wanahisabati) pia zina mali ya kushangaza:

na kwa usawa:

unaweza, kuanzia upande wa kushoto, kusugua pluses na kuzibadilisha na ishara za kuzidisha - na usawa utabaki kuwa kweli:

Na kadhalika.

Kama unavyojua, kwa sehemu a/b, ambapo a na b ni nambari kamili, na b ≠ 0, wanasema nambari ya busara. Lakini kwa Kipolandi tu wanajiita hivyo. Wanazungumza Kiingereza, Kifaransa, Kijerumani na Kirusi. nambari ya busara. Kwa Kiingereza: nambari za busara. Nambari zisizo na mantiki haina mantiki, haina mantiki. Pia tunazungumza Kipolishi juu ya nadharia zisizo na maana, maoni na vitendo - huu ni wazimu, wa kufikiria, hauelezeki. Wanasema kwamba wanawake wanaogopa panya - si hiyo ni ya ujinga sana?

Katika nyakati za zamani, nambari zilikuwa na roho. Kila moja ilimaanisha kitu, kila moja iliashiria kitu fulani, kila moja ilionyesha chembe ya upatano huo wa Ulimwengu, yaani, kwa Kigiriki, Cosmos. Neno lenyewe "cosmos" linamaanisha "amri, mpangilio". Muhimu zaidi walikuwa sita (idadi kamili) na kumi, jumla ya nambari zinazofuatana 1+2+3+4, zilizoundwa na nambari zingine, ishara ambayo imesalia hadi leo. Kwa hivyo Pythagoras alifundisha kwamba nambari ni mwanzo na chanzo cha kila kitu, na ugunduzi tu nambari zisizo na mantiki akageuza harakati ya Pythagorean kuelekea jiometri. Tunajua hoja kutoka shuleni kwamba

√2 ni nambari isiyo na mantiki

Kwa kudhani kuwa kuna: na kwamba sehemu hii haiwezi kupunguzwa. Hasa, p na q zote mbili ni isiyo ya kawaida. Hebu tufanye mraba: 2q²=p². Nambari p haiwezi kuwa isiyo ya kawaida, tangu wakati huo p² pia itakuwa, na upande wa kushoto wa usawa ni nyingi ya 2. Kwa hiyo, p ni hata, yaani, p = 2r, hivyo p.²= 4r². Tunapunguza equation 2q²= 4r² kwa 2. Tunapata q²= 2r² na tunaona kwamba q lazima pia iwe sawa, ambayo tulidhani sivyo. Ukinzani unaotokea unakamilisha uthibitisho - formula hii mara nyingi inaweza kupatikana katika kila kitabu cha hisabati. Uthibitisho huu wa kimazingira ni hila inayopendwa na wanasofi.

Ukuu huu haukuweza kueleweka na Pythagoreans. Kila kitu lazima kiweze kuelezewa na namba, na diagonal ya mraba, ambayo mtu yeyote anaweza kuteka kwa fimbo kwenye mchanga, hana, yaani, kupima, urefu. "Imani yetu ilikuwa bure," wanaonekana kusema Pythagoreans. Jinsi gani? Ni aina ya... haina mantiki. Muungano ulijaribu kujiokoa kwa mbinu za kimadhehebu. Yeyote anayethubutu kufichua uwepo wao nambari zisizo na mantiki, ilipaswa kuadhibiwa kwa kifo, na, inaonekana, hukumu ya kwanza ilifanywa na bwana mwenyewe.

Lakini "wazo lilipita bila kujeruhiwa." Enzi ya dhahabu imefika. Wagiriki waliwashinda Waajemi (Marathon 490, Block 479). Demokrasia iliimarishwa, vituo vipya vya fikra za kifalsafa na shule mpya zikaibuka. Pythagoreans walikuwa bado wanajitahidi na idadi isiyo na maana. Wengine walihubiri: hatutafahamu siri hii; tunaweza tu kutafakari na kustaajabia Uncharted. Hizi za mwisho zilikuwa za kisayansi zaidi na hazikuheshimu Siri. Wakati huo, miundo miwili ya kiakili ilionekana ambayo ilifanya iwezekane kuelewa nambari zisizo na maana. Ukweli kwamba tunawaelewa vizuri leo ni wa Eudoxus (karne ya XNUMX KK), na ilikuwa tu mwishoni mwa karne ya XNUMX ambapo mwanahisabati wa Ujerumani Richard Dedekind alitoa nadharia ya Eudoxus maendeleo sahihi kulingana na mahitaji ya ukali. mantiki ya hisabati.

Misa ya takwimu au mateso

Unaweza kuishi bila nambari? Hata kama maisha yangekuwa ... Tungelazimika kwenda dukani kununua viatu kwa fimbo, ambayo hapo awali tulipima urefu wa mguu. "Ningependa tufaha, ah, hii hapa!" - tungeonyesha wauzaji kwenye soko. "Je, ni umbali gani kutoka Modlin hadi Nowy Dwur Mazowiecki"? “Karibu sana!”

Nambari hutumiwa kupima. Kwa msaada wao, tunaelezea dhana zingine nyingi. Kwa mfano, ukubwa wa ramani unaonyesha ni kiasi gani eneo la nchi limepungua. Mizani ya mbili hadi moja, au 2 tu, inaelezea ukweli kwamba kitu kimeongezwa mara mbili kwa ukubwa. Wacha tuseme kihesabu: kila homogeneity inalingana na nambari - kiwango chake.

Kazi. Tulifanya nakala ya xerographic, tukikuza picha mara kadhaa. Kisha kipande kilichopanuliwa kiliongezwa tena mara b. Kiwango cha ukuzaji wa jumla ni nini? Jibu: a × b ikizidishwa na b. Mizani hii inahitaji kuzidishwa. Nambari ya "minus one", -1, inalingana na usahihi mmoja uliowekwa katikati, i.e. kuzungushwa digrii 180. Ni nambari gani inayolingana na zamu ya digrii 90? Hakuna nambari kama hiyo. Ni, ni ... au tuseme, itakuwa hivi karibuni. Je, uko tayari kwa mateso ya kimaadili? Jipe moyo na uchukue mzizi wa mraba wa bala moja. Ninasikiliza? Huwezi nini? Baada ya yote, nilikuambia kuwa jasiri. Vuta nje! Haya, vizuri, vuta, vuta... Nitasaidia... Hapa: -1 Sasa kwa kuwa tunayo, hebu tujaribu kuitumia... Bila shaka, sasa tunaweza kutoa mizizi ya nambari zote hasi, kwa mfano.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

"Bila kujali uchungu wa kiakili unaojumuisha." Hivi ndivyo Girolamo Cardano aliandika mnamo 1539, akijaribu kushinda shida za kiakili zinazohusiana nazo - kama ilikuja kuitwa hivi karibuni - kiasi cha kufikirika. Alizingatia haya ...

...Kazi. Gawanya 10 katika sehemu mbili, bidhaa ambayo ni 40. Nakumbuka kwamba kutoka sehemu iliyopita aliandika kitu kama hiki: Hakika haiwezekani. Hata hivyo, hebu tufanye hivi: kugawanya 10 katika sehemu mbili sawa, kila moja sawa na 5. Kuzidisha - ikawa 25. Kutoka 25 kusababisha, sasa toa 40, ikiwa unapenda, na unapata -15. Sasa angalia: √-15 ikiongezwa na kupunguzwa kutoka 5 inakupa bidhaa ya 40. Hizi ni nambari 5-√-15 na 5 + √-15. Uthibitishaji wa matokeo ulifanywa na Cardano kama ifuatavyo:

“Bila kujali maumivu ya moyo yanayoletwa, zidisha 5 + √-15 kwa 5-√-15. Tunapata 25 - (-15), ambayo ni sawa na 25 + 15. Kwa hiyo, bidhaa ni 40 .... Ni ngumu sana."

Naam, ni kiasi gani: (1 + √-1) (1-√-1)? Hebu tuzidishe. Kumbuka kwamba √-1 × √-1 = -1. Kubwa. Sasa kazi ngumu zaidi: kutoka + b√-1 hadi ab√-1. Nini kimetokea? Kwa hakika, kama hii: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Ni nini kinachovutia kuhusu hili? Kwa mfano, ukweli kwamba tunaweza kuainisha misemo ambayo "hatukujua hapo awali." Fomula iliyofupishwa ya kuzidisha²-b² Unakumbuka formula ya²+b² haikuwa hivyo, kwa sababu isingeweza kuwa. Katika uwanja wa nambari halisi, polynomial²+b² haiwezi kuepukika. Wacha tuonyeshe mzizi wa mraba wa "minus one" na herufi i.²= -1. Hii ni nambari kuu "isiyo halisi". Na hiyo ndiyo inaelezea mzunguko wa digrii 90 wa ndege. Kwa nini? Baada ya yote,²= -1, na kuchanganya mzunguko mmoja wa digrii 90 na mzunguko mwingine wa digrii 180 hutoa mzunguko wa digrii 45. Ni aina gani ya mzunguko unaoelezewa? Ni wazi zamu ya digrii XNUMX. Nini maana ya -i? Ni ngumu zaidi kidogo:

(-mimi)² = -i × (-i) = +i² = -1

Kwa hivyo -i pia inaelezea mzunguko wa digrii 90, katika mwelekeo tofauti wa mzunguko wa i. Lipi limesalia na lipi lililo sahihi? Lazima uweke miadi. Tunadhania kuwa nambari i inabainisha mzunguko katika mwelekeo ambao wanahisabati wanaona kuwa chanya: kinyume cha saa. Nambari -i inaelezea mzunguko katika mwelekeo ambao viashiria vinasonga.

Lakini je, nambari kama mimi na -i zipo? Je! Tumewafufua tu. Ninasikiliza? Kwamba zipo kichwani mwetu tu? Naam nini cha kutarajia? Nambari zingine zote pia zipo katika akili zetu tu. Tunahitaji kuona ikiwa nambari zetu za watoto wachanga zitabaki. Kwa usahihi, ikiwa muundo ni wa kimantiki na ikiwa watakuwa na manufaa kwa kitu fulani. Tafadhali pokea neno langu kwa hilo kwamba kila kitu kiko sawa na kwamba nambari hizi mpya ni za msaada sana. Nambari kama 3+i, 5-7i, kwa ujumla zaidi: a+bi huitwa nambari changamano. Nilikuonyesha jinsi unavyoweza kuzipata kwa kusokota ndege. Wanaweza kuingizwa kwa njia tofauti: kama alama za ndege, kama polynomia kadhaa, kama aina fulani ya safu za nambari ... na kila wakati zinafanana: equation x.² +1=0 hakuna kipengele... hocus pocus iko tayari!!!! Hebu tufurahi na kufurahi!!!

Mwisho wa ziara

Hii inahitimisha ziara yetu ya kwanza ya nchi ya nambari bandia. Kati ya nambari zingine zisizo za kidunia, nitataja pia zile ambazo zina idadi isiyo na kikomo ya nambari mbele, na sio nyuma (zinaitwa 10-adic, kwetu p-adic ni muhimu zaidi, ambapo p ni nambari kuu), kwa mfano X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Hebu tuhesabu X tafadhali². Kwa sababu? Je, iwapo tutakokotoa mraba wa nambari ikifuatiwa na nambari isiyo na kikomo ya tarakimu? Naam, tufanye vivyo hivyo. Tunajua kwamba x² = X.

Wacha tutafute nambari nyingine kama hiyo iliyo na nambari isiyo na kikomo ya nambari mbele ambayo inakidhi mlinganyo. Kidokezo: mraba wa nambari inayoishia kwa sita pia huishia kwa sita. Mraba wa nambari inayoishia na 76 pia inaishia 76. Mraba wa nambari inayoishia 376 pia inaishia 376. Mraba wa nambari inayoishia 9376 pia inaishia 9376. Mraba wa nambari inayoishia XNUMX kwenye… Pia kuna nambari ambazo ni ndogo sana kwamba, kuwa chanya, zinabaki ndogo kuliko nambari nyingine yoyote chanya. Ni ndogo sana kwamba wakati mwingine inatosha kuziweka mraba ili kupata sifuri. Kuna nambari ambazo hazikidhi hali a × b = b × a. Pia kuna idadi isiyo na kikomo. Kuna nambari ngapi za asili? Wengi usio na kikomo? Ndiyo, lakini ni kiasi gani? Hii inawezaje kuonyeshwa kama nambari? Jibu: ndogo ya idadi isiyo na kikomo; ina alama ya herufi nzuri: A na kuongezwa na sifuri index A₀ , aleph-sifuri.

Pia kuna nambari ambazo hatujui zipo ... au ambazo unaweza kuamini au kutoamini upendavyo. Na tukizungumza kama: Natumai bado unapenda Nambari zisizo za kweli, Nambari za Aina za Ndoto.