Mifano rahisi na tabia changamano i.e. machafuko

Kompyuta ni kifaa kinachozidi kutumiwa na wanasayansi kufichua siri zilizofichwa kwa uangalifu na maumbile. Kuiga, pamoja na majaribio na nadharia, inakuwa njia ya tatu ya kusoma ulimwengu.

Miaka mitatu iliyopita, katika Chuo Kikuu cha Silesia, tulianza programu ya kuunganisha mbinu za kompyuta katika elimu. Kama matokeo, nyenzo nyingi za kusisimua za didactic zimeundwa, na kuifanya iwe rahisi na zaidi kusoma mada nyingi. Python ilichaguliwa kama zana kuu, ambayo, pamoja na uwezo wa maktaba za kisayansi zinazopatikana, labda ni suluhisho bora kwa "majaribio ya kompyuta" na milinganyo, picha au data. Mojawapo ya utekelezaji wa kuvutia zaidi wa benchi kamili ya kazi ni Sage [2]. Ni muunganisho wazi wa mfumo wa algebra wa kompyuta na lugha ya Python, na pia hukuruhusu kuanza mara moja kucheza kwa kutumia kivinjari cha wavuti na moja ya chaguzi zinazowezekana za ufikiaji kupitia huduma ya wingu [3] au seva moja ya kompyuta ambayo mwingiliano toleo la makala hii ni msingi [4] .

Machafuko katika ikolojia

Katika miaka ya 1 katika Chuo Kikuu cha Oxford, mwanasayansi wa Australia Robert May alisoma vipengele vya kinadharia vya mienendo ya idadi ya watu. Alifanya muhtasari wa kazi yake katika karatasi iliyotokea katika jarida la Nature chini ya jina la uchochezi "Miundo Rahisi ya Hisabati yenye Mienendo Migumu Sana" [XNUMX]. Kwa miaka mingi, nakala hii imekuwa moja ya kazi zilizotajwa zaidi katika ikolojia ya kinadharia. Ni nini kilichosababisha kupendezwa hivyo katika kazi hii?

Tatizo la classical la mienendo ya idadi ya watu ni kuhesabu idadi ya baadaye ya aina fulani, kutokana na hali yake ya sasa. Kihisabati, rahisi zaidi ilikuwa mifumo ya ikolojia ambayo maisha ya kizazi kimoja cha watu hudumu msimu mmoja. Mfano mzuri ni idadi ya wadudu ambao hupitia mabadiliko kamili katika msimu mmoja, kama vile vipepeo. Muda kwa kawaida umegawanywa katika vipindi tofauti2 vinavyolingana na mizunguko ya maisha ya watu. Kwa hivyo, milinganyo inayoelezea mfumo ikolojia kama huu kwa asili ina kile kinachojulikana wakati tofauti, i.e. t = 1,2,3…. Robert May alishughulikia mienendo kama hii, kati ya mambo mengine. Katika hoja yake, alirahisisha mfumo wa ikolojia kwa spishi moja ambayo idadi yake ilikuwa kazi ya mara nne ya idadi ya watu wa mwaka uliopita. Mtindo huu umetoka wapi?

Mlinganyo rahisi kabisa wa kipekee unaoelezea mageuzi ya idadi ya watu ni mfano wa mstari:

ambapo Ni ni wingi katika msimu wa i-th, na Ni + 1 inaelezea idadi ya watu katika msimu ujao. Ni rahisi kuona kuwa equation kama hiyo inaweza kusababisha hali tatu. Wakati = 1, mageuzi hayatabadilisha ukubwa wa idadi ya watu, na <1 husababisha kutoweka, na kesi a > 1 inamaanisha ukuaji wa idadi ya watu usio na kikomo. Hii itasababisha usawa katika asili. Kwa kuwa kila kitu katika asili ni mdogo, ni mantiki kurekebisha equation hii ili kuzingatia kiasi kidogo cha rasilimali. Hebu fikiria kwamba wadudu hula nafaka, ambayo kila mwaka ni sawa kabisa. Ikiwa wadudu ni wachache ikilinganishwa na kiasi cha chakula wanachoweza kuzaliana, wanaweza kuzaliana kwa nguvu kamili ya uzazi, kulingana na hisabati inayojulikana na mara kwa mara a > 1. Hata hivyo, kadiri idadi ya wadudu inavyoongezeka, chakula kitakuwa chache na uwezo wa uzazi utapungua. Katika hali mbaya, mtu anaweza kufikiria kwamba wadudu wengi huzaliwa kwamba hula nafaka zote kabla ya kuwa na muda wa kuzaliana, na idadi ya watu hufa. Mfano unaozingatia athari hii ya upatikanaji mdogo wa chakula ulipendekezwa kwanza na Verhulst mwaka wa 1838. Katika mfano huu, kiwango cha ukuaji sio mara kwa mara, lakini inategemea hali ya idadi ya watu:

Uhusiano kati ya kiwango cha ukuaji A na Ni unapaswa kuwa na mali ifuatayo: ikiwa idadi ya watu itaongezeka, kiwango cha ukuaji kinapaswa kupungua kwa sababu upatikanaji wa chakula ni mgumu. Bila shaka, kuna kazi nyingi na mali hii: hizi ni kazi za juu-chini. Verhulst alipendekeza uhusiano ufuatao:

ambapo a>0 na mara kwa mara K>0 huonyesha rasilimali za chakula na huitwa uwezo wa mazingira. Je, mabadiliko ya K yanaathirije kasi ya ongezeko la watu? K ikiongezeka, Ni/K hupungua. Kwa upande wake, hii inaongoza kwa ukweli kwamba 1-Ni / K inakua, ambayo ina maana inakua. Hii ina maana kwamba kiwango cha ukuaji kinaongezeka na idadi ya watu inaongezeka kwa kasi. Kwa hivyo wacha turekebishe mtindo uliopita (1) kwa kudhani kuwa kiwango cha ukuaji kinabadilika kama ilivyo kwa equation (3). Kisha tunapata equation

Mlingano huu unaweza kuandikwa kama mlingano wa kujirudia

ambapo xi = Ni / K na xi + 1 = Ni + 1 / K huashiria idadi ya watu iliyopunguzwa kwa wakati i na kwa wakati i + 1. Mlinganyo (5) unaitwa mlinganyo wa vifaa.

Inaweza kuonekana kuwa na muundo mdogo kama huo, mfano wetu ni rahisi kuchambua. Hebu tuangalie. Fikiria mlinganyo (5) wa kigezo a = 0.5 kuanzia idadi ya awali x0 = 0.45. Thamani za idadi ya watu zinazofuatana zinaweza kupatikana kwa kutumia mlingano wa kujirudia (5):

x₁= shoka₀(1₀)

x₂= shoka₁(1₁)

x₃= shoka₂(1₂)

Ili kuwezesha mahesabu katika (6), tunaweza kutumia programu ifuatayo (imeandikwa kwa Python na inaweza kuendeshwa, miongoni mwa mambo mengine, kwenye jukwaa la Sage. Tunapendekeza usome kitabu http://icse.us.edu .pl/e-book . ), tukiiga muundo wetu:

= 0.5 x = 0.45 kwa i katika safu (10):      x \u1d a * x * (XNUMX-x)      chapa x

Tunahesabu thamani zinazofuatana za xi na kugundua kuwa huwa na sifuri. Kwa kujaribu nambari iliyo hapo juu, ni rahisi pia kuona kuwa hii ni kweli bila kujali thamani ya awali ya x0. Hii ina maana kwamba idadi ya watu inazidi kufa.

Katika hatua ya pili ya uchanganuzi, tunaongeza thamani ya parameta kwa thamani yoyote katika safu ae (1,3). Inatokea kwamba basi mlolongo xi huenda kwa kiasi fulani x * > 0. Kutafsiri hili kutoka kwa mtazamo wa ikolojia, tunaweza kusema kwamba ukubwa wa idadi ya watu umewekwa kwa kiwango fulani, ambacho haibadilika kutoka msimu hadi msimu. . Ni muhimu kuzingatia kwamba thamani ya x * haitegemei hali ya awali x0. Hii ni athari ya mfumo wa ikolojia kujitahidi kuleta utulivu - idadi ya watu hurekebisha ukubwa wake kwa uwezo wa kujilisha. Kihisabati, inasemekana kuwa mfumo huwa na uhakika wa kudumu, i.e. kukidhi usawa x = f (x) (hii ina maana kwamba wakati ujao hali ni sawa na wakati uliopita). Kwa Sage, tunaweza kuibua mageuzi haya kwa picha kwa kupanga idadi ya watu kwa wakati.

Athari kama hiyo ya uthabiti ilitarajiwa na watafiti, na mlingano wa vifaa (5) haungevutia umakini mkubwa ikiwa sio kwa mshangao. Ilibadilika kuwa kwa maadili fulani ya paramu, mfano (5) hufanya kwa njia isiyotabirika. Kwanza, kuna majimbo ya mara kwa mara na ya multiperiodic. Pili, kwa kila hatua ya wakati, idadi ya watu hubadilika bila usawa, kama harakati ya nasibu. Tatu, kuna unyeti mkubwa kwa hali ya awali: majimbo mawili ya awali karibu yasiyotambulika husababisha mageuzi tofauti kabisa ya idadi ya watu. Vipengele hivi vyote ni tabia ya tabia ambayo inafanana na harakati ya nasibu kabisa na inaitwa machafuko ya kuamua.

Wacha tuchunguze mali hii!

Kwanza, hebu tuweke thamani ya parameter a = 3.2 na tuangalie mageuzi. Inaweza kuonekana kuwa ya kushangaza kwamba wakati huu idadi ya watu haifikii thamani moja, lakini mbili, ambayo hutokea mfululizo kila msimu wa pili. Hata hivyo, ikawa kwamba matatizo hayakuishia hapo. Na = 4, mfumo hautabiriki tena. Hebu tuangalie takwimu (2) au tutazalisha mlolongo wa nambari sisi wenyewe kwa kutumia kompyuta. Matokeo yanaonekana kuwa nasibu na tofauti kabisa kwa idadi tofauti kidogo ya wanaoanza. Hata hivyo, msomaji makini lazima apinge. Je, mfumo unaoelezewa na mlingano wa kubainisha1, hata ule rahisi sana, unawezaje kutenda bila kutabirika? Naam, labda.

Kipengele cha mfumo huu ni unyeti wake wa ajabu kwa hali ya awali. Inatosha kuanza na hali mbili za awali zinazotofautiana kwa milioni moja, na katika hatua chache tu tutapata maadili tofauti kabisa ya idadi ya watu. Wacha tuangalie kwenye kompyuta:

a = 4.0

x = 0.123 y = 0.123 + 0.000001 PCC = [] kwa i katika safu (25): x = a*x*(1-x) u = a * u * (1-u) chapa x, y

Hapa kuna mfano rahisi wa mageuzi ya kuamua. Lakini uamuzi huu ni wa udanganyifu, ni uamuzi wa hisabati tu. Kwa mtazamo wa vitendo, mfumo unafanya kazi bila kutabirika kwa sababu hatuwezi kamwe kuweka hali za awali kihisabati haswa. Kwa kweli, kila kitu kimeamua kwa usahihi fulani: kila chombo cha kupimia kina usahihi fulani, na hii inaweza kusababisha kutotabirika kwa vitendo katika mifumo ya kuamua ambayo ina mali ya machafuko. Mfano ni mifano ya utabiri wa hali ya hewa, ambayo daima huonyesha mali ya machafuko. Ndiyo maana utabiri wa hali ya hewa wa muda mrefu ni mbaya sana.

Uchambuzi wa mifumo ya machafuko ni ngumu sana. Hata hivyo, tunaweza kutatua siri nyingi za machafuko kwa urahisi kabisa kwa msaada wa simuleringar kompyuta. Wacha tuchore mchoro unaoitwa bifurcation, ambayo tunaweka maadili ya paramu a kando ya mhimili wa abscissa, na vidokezo vilivyowekwa vya ramani ya vifaa kando ya mhimili wa kuratibu. Tunapata pointi thabiti kwa kuiga idadi kubwa ya mifumo kwa wakati mmoja na kupanga maadili baada ya nyakati nyingi za sampuli. Kama unavyoweza kudhani, hii inahitaji mahesabu mengi. Wacha tujaribu "kwa uangalifu" kusindika maadili yafuatayo:

agiza numpy kama np Nx = 300 Hiyo = 500 х = np.linspace (0,1, Nx) х = х + np.sifuri ((Na, Nx)) h = np.transpose (h) a = np.linspace (1,4, Na) a=a+np.zero((Nx,Na)) kwa i katika safu (100): x=a*x*(1-x) pt = [a_, x_] kwa a_, x_ c zip(a.flatten(),x.flatten())] uhakika (pt, ukubwa = 1, figsize = (7,5))

Tunapaswa kupata kitu sawa na takwimu (3). Jinsi ya kutafsiri mchoro huu? Kwa mfano, kwa thamani ya parameter a = 3.3, tuna pointi 2 za kudumu (idadi ya idadi ya watu ni sawa kila msimu wa pili). Hata hivyo, kwa parameter = 3.5 tuna pointi 4 za mara kwa mara (kila msimu wa nne idadi ya watu ina idadi sawa), na kwa parameter = 3.56 tuna pointi 8 za mara kwa mara (kila msimu wa nane idadi ya watu ina idadi sawa). Lakini kwa kigezo a≈3.57, tuna alama nyingi zisizobadilika (idadi ya idadi ya watu haijirudii kamwe na hubadilika kwa njia zisizotabirika). Hata hivyo, kwa programu ya kompyuta, tunaweza kubadilisha upeo wa parameter a na kuchunguza muundo usio na kipimo wa kijiometri wa mchoro huu kwa mikono yetu wenyewe.

Hii ni ncha tu ya barafu. Maelfu ya karatasi za kisayansi zimeandikwa kuhusu equation hii, lakini bado inaficha siri zake. Kwa msaada wa simulation ya kompyuta, unaweza, bila hata kutumia hisabati ya juu, kucheza upainia wa ulimwengu wa mienendo isiyo ya mstari. Tunakualika usome toleo la mtandaoni lililo na maelezo juu ya mali nyingi za kuvutia za equation ya vifaa na njia za kuvutia za kuziona.

¹ Sheria ya uamuzi ni sheria ambayo siku zijazo huamuliwa kipekee na hali ya awali. Kinyume ni sheria ya uwezekano. ² Katika hisabati, "discrete" inamaanisha kupata maadili kutoka kwa seti fulani inayoweza kuhesabika. Kinyume chake ni "kuendelea".