Kwa nini tusigawe kwa sifuri?
yaliyomo
Wasomaji wanaweza kujiuliza kwa nini ninatoa nakala nzima kwa suala la banal kama hii? Sababu ni idadi kubwa ya wanafunzi (!) wanaofanya operesheni hiyo chini ya jina. Na sio wanafunzi tu. Wakati mwingine mimi hukamata na walimu. Je, wanafunzi wa walimu hao wataweza kufanya nini katika somo la hisabati? Sababu ya haraka ya kuandika maandishi haya ilikuwa mazungumzo na mwalimu ambaye mgawanyiko kwa sifuri haukuwa shida ...
Kwa sifuri, ndiyo, isipokuwa kwa shida ya kitu chochote, kwa sababu hatuhitaji kabisa kuitumia katika maisha ya kila siku. Hatuendi kununua mayai sifuri. "Kuna mtu mmoja katika chumba" inaonekana kwa namna fulani ya asili, na "watu sifuri" inaonekana kuwa ya bandia. Wanaisimu wanasema kwamba sufuri iko nje ya mfumo wa lugha.
Tunaweza kufanya bila sifuri katika akaunti za benki pia: tumia tu - kama kwenye kipima joto - nyekundu na bluu kwa maadili chanya na hasi (kumbuka kuwa kwa hali ya joto ni kawaida kutumia nyekundu kwa nambari chanya, na kwa akaunti za benki. ni njia nyingine kote, kwa sababu debit inapaswa kusababisha onyo, hivyo nyekundu inapendekezwa sana).
Kwa kujumuisha sifuri kama nambari asilia, tunagusa shida ya kutofautisha Nambari za Kardinali od kaya. Ndani ya 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ....
nguvu ya nambari ni sawa na nambari ya mahali inaposimama. Vinginevyo, tayari iko kwenye mlolongo 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ....
Idadi ya seti za singleton inakuja pili, idadi ya seti na vipengele viwili huja tatu, na kadhalika. Tunapaswa kueleza kwa nini, kwa mfano, hatuhesabu nafasi za wanariadha katika mashindano kutoka mwanzo. Kisha mshindi wa kwanza angepokea medali ya fedha (dhahabu ilienda kwa mshindi wa sifuri), na kadhalika. Utaratibu kama huo ulitumika katika mpira wa miguu - sijui kama Wasomaji wanajua kuwa "ligi ya kwanza" inamaanisha " kufuata kilicho bora zaidi." ", na ligi sifuri inaitwa kuwa "ligi kuu".
Wakati mwingine tunasikia hoja kwamba tunahitaji kuanza kutoka mwanzo, kwa sababu ni rahisi kwa watu wa IT. Kuendelea mazingatio haya, ufafanuzi wa kilomita unapaswa kubadilishwa - inapaswa kuwa 1024 m, kwa sababu hii ni idadi ya ka katika kilobyte (Nitarejelea utani unaojulikana kwa wanasayansi wa kompyuta: "Kuna tofauti gani kati ya mtu mpya na mwanafunzi wa sayansi ya kompyuta na mwanafunzi wa mwaka wa tano wa kitivo hiki? kwamba kilobyte ni kilobytes 1000, mwisho - kwamba kilomita ni mita 1024")!
Mtazamo mwingine, ambao tayari unapaswa kuchukuliwa kwa uzito, ni hii: sisi daima tunapima kutoka mwanzo! Inatosha kuangalia kiwango chochote kwenye mtawala, kwenye mizani ya kaya, hata kwenye saa. Kwa kuwa tunapima kutoka sifuri, na kuhesabu kunaweza kueleweka kama kipimo na kitengo kisicho na kipimo, basi tunapaswa kuhesabu kutoka sifuri.
Ni jambo rahisi, lakini ...
Wacha tuache hoja za jumla na turudi kwenye mgawanyiko kwa sifuri. Jambo hilo ni rahisi na lingekuwa rahisi kama isingekuwa ... ili iweje? Hebu fikiria na jaribu. Ni kiasi gani kinaweza kuwa - moja imegawanywa na sifuri? Hebu tuone: 1/0 = x. Zidisha pande zote mbili kwa denominator ya upande wa kushoto.
Tunapata 1=0. Kuna kitu kibaya! Nini kimetokea? Ah nadhani! Dhana ya kuwa kuna mgawo wa umoja na sifuri husababisha mgongano. Na ikiwa mtu hawezi kugawanywa na sifuri, basi nambari nyingine inaweza. Ikiwa, Msomaji, unapunguza mabega yako na unashangaa kwa nini mwandishi (yaani, mimi) anaandika kuhusu platitudes vile, basi ... nimefurahi sana!
Fomula 0/0 = 0 inaweza kutetewa kwa msingi wa ukaidi, lakini inapingana na sheria kwamba matokeo ya kugawanya nambari yenyewe ni sawa na moja. Kabisa, lakini tofauti kabisa ni alama kama 0/0, °/° na kadhalika katika calculus. Hazimaanishi nambari yoyote, lakini ni alama za ishara kwa mlolongo fulani wa aina fulani.
Katika kitabu cha uhandisi wa umeme, nilipata kulinganisha kwa kuvutia: kugawanya kwa sifuri ni hatari kama vile umeme wa juu wa voltage. Hii ni ya kawaida: Sheria ya Ohm inasema kwamba uwiano wa voltage na upinzani ni sawa na sasa: V = U / R. Ikiwa upinzani ulikuwa sifuri, sasa ya kinadharia isiyo na ukomo itapita kupitia kondakta, kuwaka waendeshaji wote iwezekanavyo.
Niliwahi kuandika shairi kuhusu hatari za kugawanya kwa sifuri kwa kila siku ya juma. Nakumbuka kwamba siku ya kushangaza zaidi ilikuwa Alhamisi, lakini ni huruma kwa kazi yangu yote katika eneo hili.
Unapogawanya kitu kwa sifuri
Jumatatu mapema sana
Wiki kile kilichotokea
Tayari umeshindwa vibaya.
Wakati Jumanne mchana
Unaweka sifuri kwenye denominator
Nitakuambia basi, umekosea
Mwanahisabati mbaya!
Wakati kupitia sifuri, kupitia upotovu,
Unataka kugawanyika Jumatano
Utapata shida sana
Una nyasi na maji kichwani mwako!
Bartek fulani alikuwa pamoja nasi.
Alikuwa anapingana na sheria.
Siku ya Alhamisi, inaweza kugawanywa kwa sifuri.
Hayupo tena kati yetu!
Ikiwa tamaa ya ajabu inakushikilia
Gawanya kwa sifuri siku ya Ijumaa
Nitakuwa mkweli, nitakuwa mkweli:
Mwanzo mbaya wa wikendi hii.
Wakati ni sifuri, mahali fulani Jumamosi
Kigawanyaji kitakuwa chako (sio ujasiri)
Piga magoti chini ya uzio wa kanisa.
Huu ni ufufuo wako.
Je! unataka sifuri chini ya dashi,
Fanya likizo siku ya Jumapili
Lete chaki, ubao mweusi.
Andika: haigawanyiki kwa sifuri!
Sifuri inahusishwa na utupu na kutokuwa na kitu. Hakika, alikuja kwa hisabati kama idadi ambayo, ikiongezwa kwa yoyote, haibadilishi: x + 0 = x. Lakini sasa sifuri inaonekana katika maadili mengine kadhaa, haswa kama kuanza kwa kiwango. Ikiwa nje ya dirisha hakuna joto chanya wala baridi, basi ... hii ni sifuri, ambayo haina maana kwamba hakuna joto wakati wote. Monument ya darasa la sifuri sio ambayo imebomolewa kwa muda mrefu na haipo tu. Kinyume chake, ni kitu kama Wawel, Mnara wa Eiffel na Sanamu ya Uhuru.
Kweli, umuhimu wa sifuri katika mfumo wa nafasi hauwezi kukadiria. Je, unajua Msomaji Bill Gates ana sifuri ngapi kwenye akaunti yake ya benki? Sijui, lakini ningependa nusu. Inavyoonekana, Napoleon Bonaparte aligundua kuwa watu ni kama sifuri: wanapata maana kupitia msimamo. Katika Andrzej Wajda's As the Years, As the Days Pass, msanii Jerzy mwenye shauku analipuka: "Philister ni sifuri, nihil, hakuna, hakuna, nihil, sifuri." Lakini sifuri inaweza kuwa nzuri: "zero kupotoka kutoka kwa kawaida" ina maana kwamba kila kitu kinaendelea vizuri, na uendelee!
Turudi kwenye hisabati. Sufuri inaweza kuongezwa, kupunguzwa na kuzidishwa bila kuadhibiwa. "Nilipata kilo sifuri," Manya anamwambia Anya. "Na hii inafurahisha, kwa sababu nilipoteza uzito sawa," Anya anajibu. Kwa hivyo wacha tule sehemu sita za ice cream mara sita, haitatuumiza.
Hatuwezi kugawanya kwa sifuri, lakini tunaweza kugawanya kwa sifuri. Sahani ya dumplings ya sifuri inaweza kutolewa kwa urahisi kwa wale wanaosubiri chakula. Kila mmoja atapata kiasi gani?
Sufuri si chanya au hasi. Hii na nambari zisizo chanyaи zisizo hasi. Inakidhi ukosefu wa usawa x≥0 na x≤0. Upinzani "kitu chanya" sio "kitu kibaya", lakini "kitu kibaya au sawa na sifuri". Wanahisabati, kinyume na sheria za lugha, daima watasema kwamba kitu ni "sawa na sifuri" na si "sifuri." Ili kuhalalisha mazoezi haya, tunayo: ikiwa tunasoma formula x = 0 "x ni sifuri", basi x = 1 tunasoma "x ni sawa na moja", ambayo inaweza kumezwa, lakini vipi kuhusu "x = 1534267"? Pia huwezi kugawa thamani ya nambari kwa herufi 00wala kuongeza sifuri kwa nguvu hasi. Kwa upande mwingine, unaweza mizizi ya sifuri kwa mapenzi ... na matokeo yatakuwa sifuri daima.
Chaguo za kukokotoa y = ax, msingi chanya wa a, kamwe huwa sifuri. Inafuata kwamba hakuna logarithm ya sifuri. Hakika, logariti ya a hadi msingi b ni kipeo ambacho msingi lazima uinulie ili kupata logariti ya a. Kwa = 0, hakuna kiashiria kama hicho, na sifuri haiwezi kuwa msingi wa logarithm. Hata hivyo, sifuri katika "denominator" ya ishara ya Newton ni kitu kingine. Tunadhania kwamba mikataba hii haileti mkanganyiko.
ushahidi wa uongo
Mgawanyiko kwa sifuri ni somo la kawaida kwa uthibitisho wa uongo, na hutokea hata kwa wanahisabati wenye ujuzi. Ngoja nikupe mifano miwili ninayoipenda zaidi. Ya kwanza ni algebraic. "Nitathibitisha" kuwa nambari zote ni sawa. Tuseme kuna nambari mbili ambazo si sawa. Kwa hiyo, mmoja wao ni mkubwa kuliko mwingine, basi a > b. Wacha tufikirie kuwa c ndio tofauti yao
c \uXNUMXd a -b. Kwa hivyo tunayo - b = c, kutoka wapi a = b + c.
Tunazidisha sehemu zote mbili za mwisho na - b:
a2 – ab = ab + ac – b2 – bc.
Ninatafsiri ak kwa upande wa kushoto, bila shaka nakumbuka kuhusu kubadilisha ishara:
a2 - ab - ac = ab - b2 - bc.
Sijumuishi mambo ya kawaida:
A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),
Ninashiriki na nina kile nilichotaka:
a = b.
Na kwa kweli hata mgeni, kwa sababu nilidhani kuwa > b, na nilipata kwamba = b. Ikiwa katika mfano hapo juu "kudanganya" ni rahisi kutambua, basi katika uthibitisho wa kijiometri hapa chini si rahisi sana. Nitathibitisha kuwa ... trapezoid haipo. Takwimu inayoitwa kawaida trapezoid haipo.
Lakini tuseme kwanza kwamba kuna kitu kama trapezoid (ABCD katika takwimu hapa chini). Ina pande mbili zinazofanana ("misingi"). Wacha tunyooshe besi hizi, kama inavyoonyeshwa kwenye picha, ili tupate parallelogram. Milalo yake hugawanya ulalo mwingine wa trapezoidi katika sehemu ambazo urefu wake umeonyeshwa x, y, z, kama katika sura ya 1. Kutoka kwa kufanana kwa pembetatu zinazolingana, tunapata idadi:
ambapo tunafafanua:
Oraz
ambapo tunafafanua:
Ondoa pande za usawa zilizo na alama za nyota:
Kufupisha pande zote mbili kwa x - z, tunapata - a/b = 1, ambayo ina maana kwamba a + b = 0. Lakini namba a, b ni urefu wa besi za trapezoid. Ikiwa jumla yao ni sifuri, basi wao pia ni sifuri. Hii ina maana kwamba takwimu kama trapezoid haiwezi kuwepo! Na kwa kuwa rectangles, rhombuses na mraba pia ni trapezoids, basi, Msomaji mpendwa, hakuna rhombuses, rectangles na mraba ama ...
Nadhani Nadhani
Kushiriki habari ni jambo la kuvutia na lenye changamoto zaidi kati ya shughuli nne za kimsingi. Hapa, kwa mara ya kwanza, tunakutana na jambo la kawaida sana kwa watu wazima: "nadhani jibu, na kisha angalia ikiwa umekisia sawa." Hili limeelezwa kwa usahihi sana na Daniel K. Dennett ("Jinsi ya Kufanya Makosa?", katika Jinsi Ilivyo - Mwongozo wa Kisayansi kwa Ulimwengu, CiS, Warsaw, 1997):
Njia hii ya "kubahatisha" haiingilii maisha yetu ya watu wazima - labda kwa sababu tunajifunza mapema na kubahatisha sio ngumu. Kiitikadi, jambo sawa hutokea, kwa mfano, katika induction ya hisabati (kamili). Katika sehemu hiyo hiyo, "tunakisia" fomula na kisha kuangalia ikiwa nadhani yetu ni sahihi. Wanafunzi daima huuliza: “Tulijuaje muundo huo? Inawezaje kuondolewa?" Wanafunzi wanaponiuliza swali hili, ninageuza swali lao kuwa mzaha: "Ninajua hili kwa sababu mimi ni mtaalamu, kwa sababu ninalipwa kujua." Wanafunzi shuleni wanaweza kujibiwa kwa mtindo huo huo, kwa umakini zaidi.
Mazoezi. Kumbuka kwamba tunaanza kujumlisha na kuandika kuzidisha kwa kitengo cha chini kabisa, na mgawanyiko na kitengo cha juu zaidi.
Mchanganyiko wa mawazo mawili
Walimu wa hesabu wamebainisha kila mara kwamba kile tunachokiita utengano wa watu wazima ni muungano wa mawazo mawili tofauti kimtazamo: Nyumba i kujitenga.
Wa kwanza (Nyumba) hutokea katika kazi ambapo archetype ni:
Gawanya-gawanya Hizi ni kazi kama vile:
? (Tunahifadhi mtindo asilia wa tatizo hili, uliochukuliwa kutoka kwa kitabu cha mwongozo cha Julian Zgozalewicz kilichochapishwa huko Krakow mwaka wa 1892 - złoty ni złoty ya Rhenish, sarafu ambayo ilikuwa ikisambazwa katika Milki ya Austro-Hungarian hadi mwanzoni mwa karne ya XNUMX).
Sasa fikiria shida mbili na kitabu kongwe zaidi cha hisabati katika Kipolandi, baba Tomasz Clos (1538). Ni mgawanyiko au coupe? Tatua kwa njia ambayo watoto wa shule katika karne ya XNUMX wanapaswa:
(Tafsiri ya Kipolishi hadi Kipolandi: Kuna robo na sufuria nne kwenye pipa. Sufuria ni robo nne. Mtu alinunua mapipa 20 ya divai kwa zloty 50 kwa ajili ya biashara. Ushuru na kodi (ushuru?) itakuwa zloty 8. Kiasi gani kuuza robo ili kupata zloty 8?)
Michezo, fizikia, mshikamano
Wakati mwingine katika michezo unapaswa kugawanya kitu kwa sifuri (uwiano wa lengo). Naam, waamuzi kwa namna fulani wanashughulikia. Hata hivyo, katika aljebra ya kufikirika zimo kwenye ajenda. idadi isiyo ya sifuriambao mraba wake ni sifuri. Inaweza hata kuelezewa kwa urahisi.
Fikiria chaguo la kukokotoa F ambalo linahusisha ncha (y, 0) na ncha kwenye ndege (x, y). F ni nini2, yaani, utekelezaji mara mbili wa F? Kazi ya sifuri - kila hatua ina picha (0,0).
Hatimaye, idadi isiyo ya sifuri ambayo mraba wake ni 0 ni karibu mkate wa kila siku wa wanafizikia, na nambari za fomu a + bε, ambapo ε ≠ 0, lakini ε.2 = 0, wanahisabati wito nambari mbili. Wanatokea katika uchambuzi wa hisabati na katika jiometri tofauti.
Baada ya yote, kuna kitu katika hesabu ambacho kina mgawanyiko na sifuri katika angalau jina. Inatoka kuungana. Acha Z ionyeshe seti ya nambari kamili. Kugawanya seti ya Z na p inamaanisha kuwa tunalinganisha kila nambari (nambari kamili) na zingine, yaani, kwa zile ambazo tofauti zao zinaweza kugawanywa. Kwa hivyo, tunapokuwa na aina tano za nambari zinazolingana na nambari 0, 1, 2, 3, 4 - mabaki yanayowezekana wakati imegawanywa na 5. Fomula imeandikwa kama hii:
mod wakati tofauti ni nyingi.
Kwa = 2, tuna nambari mbili tu: 0 na 1. Kugawanya nambari kamili katika madarasa mawili kama haya ni sawa na kuzigawanya kwa usawa na isiyo ya kawaida. Hebu tuibadilishe sasa. Tofauti daima inaweza kugawanywa na 1 (nambari kamili inaweza kugawanywa na 1). Je, inawezekana kuchukua =0? Wacha tujaribu: ni lini tofauti ya nambari mbili ni sifuri? Ni wakati tu nambari hizi mbili ni sawa. Kwa hivyo kugawanya seti ya nambari kwa sifuri ina maana, lakini haipendezi: hakuna kinachotokea. Walakini, inapaswa kusisitizwa kuwa hii sio mgawanyiko wa nambari kwa maana inayojulikana kutoka shule ya msingi.
Vitendo kama hivyo ni marufuku tu, pamoja na hisabati ndefu na pana.
Mchele. 2. Utambulisho wa nambari kwa kutumia kulinganisha
(Modi 5 na 2)
